Hace unos años cuando empecé a trastear con Android y animado por mi afición a la Ingeniería Inversa, decidí realizar una serie de crackmes. Los dos primeros pasaron algo desapercibidos, pero el Crackme nº3 tuvo una gran repercusión en el mundillo y, aunque no fue el primer crackme para Android ni mucho menos, si que fue uno de los más estudiados. Todos ellos fueron publicados a través de crackmes.de y el nº3 en cuestión el 6 de Noviembre de 2010. Os dejo una lista de unas cuantas webs donde aparece analizado para que veáis la repercusión que a mi parecer tuvo.
Se nos proporciona la imagen anterior y se nos invita a resolver la ecuación para el menor entero positivo que representa cada fruta. La solución del reto es concatenar «Flag-» a la suma de los valores de las tres frutas.
Análisis inicial
El enunciado es breve pero ya nos adelanta que existen varias soluciones y que además sólo quieren los números más pequeños que podamos encontrar.
Las frutas están muy bien y son muy sanas pero a nosotros se nos hace más sencillo plantear la ecuación con letras.
Para arrojar algo de luz veamos la representación gráfica en 2D y 3D con la ayuda de Desmos.
Las gráficas más que luz nos traen oscuridad de modo que preguntemos a ChatGPT.
ChatGPT
resuelve: (x/y+z)+(y/x+z)+(z/x+y)=4 para enteros positivos
Dado que las variables x, y, z son enteros positivos, podemos intentar encontrar una solución para la ecuación bajo estas condiciones. Sin embargo, encontrar una solución exacta puede ser complejo debido a la naturaleza no lineal de la ecuación. Aun así, podemos intentar algunos enfoques:
Prueba y error: Podemos probar diferentes combinaciones de valores enteros positivos para x, y, z y ver si satisfacen la ecuación.
Análisis de casos específicos: Podemos comenzar analizando casos más simples, como cuando dos de las variables son iguales, y luego ampliar nuestra búsqueda desde allí.
Análisis gráfico o numérico: Utilizando herramientas gráficas o numéricas, podríamos identificar posibles soluciones y luego verificar si son enteros positivos.
Voy a realizar un análisis numérico con un rango limitado de valores para ver si encontramos alguna solución que cumpla con las condiciones. Vamos a probar con valores de 1 a 10 para cada variable.
El análisis numérico para valores de en el rango de 1 a 10 no ha encontrado ninguna solución que satisfaga la ecuación. Esto sugiere que, dentro de este rango, no existen combinaciones de enteros positivos que cumplan con la ecuación.
Dado que la ecuación es bastante compleja y no lineal, es posible que las soluciones, si existen, se encuentren fuera del rango considerado o que requieran un enfoque diferente para ser identificadas. Si tienes un rango específico de valores en mente o si hay alguna otra restricción o contexto relevante, por favor házmelo saber para poder ajustar el análisis en consecuencia.
Básicamente nos está invitando a utilizar prueba y error para encontrar una solución, y el prueba y error de las matemáticas no es más que la fuerza bruta en programación.
El código
Partiendo del problema anterior dame un código en python que realice una comprobación recursiva de todas las variables con un rango de 1 a 999.
soluciones = []
rango_valores_x = range(1, 999)
rango_valores_y = range(1, 999)
rango_valores_z = range(1, 999)
for x in rango_valores_x:
for y in rango_valores_y:
for z in rango_valores_z:
# Calculamos el valor de la expresión para cada combinación de x, y, z
valor = x / (y + z) + y / (x + z) + z / (x + y)
# Comprobamos si el valor es igual a 4 y agregamos la solución a la lista
if abs(valor - 4) < 1e-6: # Usamos una pequeña tolerancia para evitar errores de precisión
soluciones.append((x, y, z))
print(soluciones)
Dejo resaltada la línea 12 del código ya que en ella reside el problema. Está comprobando con un margen de tolerancia de 10-6 ya que el resultado de las diferentes fracciones no da como resultado exacto 4. Esto es un problema ya que nosotros necesitamos que de exactamente 4 para validar los valores enteros de x, y y z. Pongo un ejemplo para el que se haya perdido con una solución válida para la tolerancia 10-6 siendo x=2, y=264 y z=993.
En otras palabras, ChatGPT nos ha brindado una solución aproximada que no sirve para nuestro propósito. Seguimos probando con el código anterior quitando la tolerancia y con rangos mayores hasta que en 106 paro. Me acaba de quedar claro que con la fuerza bruta no vamos a ninguna parte, o más bien, no tenemos capacidad de computación para resolverlo de ésta manera.
¿Qué está pasando?
Lo que pasa es que estamos ante una ecuación algebraica de 3 incógnitas que deben ser enteros positivos cuya solución se alcanza mediante la teoría de curvas elípticas.
Curvas elípticas
Las curvas elípticas son fundamentales en matemáticas avanzadas, representadas por la ecuación y2=x3+Ax+B, donde A y B son constantes. Estas curvas son un punto de encuentro entre la geometría, la teoría de números y el álgebra, ofreciendo un campo rico para la exploración y el análisis. En este CTF, nos enfocaremos en los puntos racionales de las curvas elípticas. Utilizando el método tangente-secante, un procedimiento geométrico iterativo, buscaremos ampliar un conjunto finito de soluciones conocidas a la ecuación de la curva. Este método nos permite indagar en la estructura de las soluciones racionales, que potencialmente pueden ser infinitas. Además, estableceremos una conexión entre las soluciones enteras de las ecuaciones diofánticas y los puntos racionales en las curvas elípticas partiendo de la ecuación (1) especificada en el análisis inicial. A pesar de su aparente simplicidad, esta ecuación es conocida por presentar soluciones mínimas de gran tamaño.
Adecuación
Antes de nada, necesitamos saber el grado de la ecuación, de modo que planteamos la ecuación en forma polinómica estándar deshaciéndonos de los denominadores.
Ahora necesitamos expandir y simplificar para llegar a la conclusión de que estamos ante una ecuación diofántica de grado 3. Este proceso es engorroso por la cantidad de términos a manejar así que vamos a utilizar Mathematica como software de respaldo para finalmente obtener el polinomio en la forma de Weierstrass según la ecuación 4.
\begin{align}
& y^2=x^3+109x^2+224x\\
\end{align}
donde:
\begin{align}
x = \frac{−28(a+b+2c)}{(6a+6b−c)}\\
y = \frac{364(a−b)}{(6a+6b−c)}
\end{align}
Las relación entre la ecuación 3 y los puntos de la curva elíptica se establecen mediante la ecuación 4. Las transformaciones entre las soluciones (a, b, c) y los puntos (x, y) en la curva elíptica vienen dados por las ecuaciones 5 y 6. Con estas transformaciones, cada solución de la ecuación diofántica se puede representar como un punto en la curva elíptica, y las operaciones de suma de puntos en la curva elíptica pueden usarse para encontrar nuevas soluciones de la ecuación diofántica.
Mathematica
El código que tenéis a continuación pertenece al gran trabajo de Aditi Kulkarni [7], que además nos da el resultado para cualquier valor de n. Ojo porque para n=4 el resultado tiene 81 dígitos, para n=6 tiene 134, para n=10 tiene 190 y para n=12 asciende a 2707 dígitos.
(* Asignar un valor numérico a n *)
n = 4;
(* Definir la ecuación de una curva elíptica en términos de n *)
curve4 = y^2 == x^3 + (4*n^2 + 12*n - 3)*x^2 + 32*(n + 3)*x;
(* Encontrar un punto racional en la curva que no sea (4,0) *)
P4 = {x, y} /. First[FindInstance[curve4 && x != 4 && y != 0, {x, y}, Integers]];
(* Función para calcular la pendiente entre dos puntos en la curva,
o la derivada en el punto si son iguales *)
Slope4[{x1_, y1_}, {x2_, y2_}] :=
If[x1 == x2 && y1 == y2,
ImplicitD[curve4, y, x] /. {x -> x1, y -> y1},
(y2 - y1)/(x2 - x1)];
(* Función para calcular la intersección en y de la línea entre dos puntos
o la tangente en el punto si son iguales *)
Intercept4[{x1_, y1_}, {x2_, y2_}] := y1 - Slope4[{x1, y1}, {x2, y2}]*x1;
(* Función para encontrar el siguiente punto racional en la curva *)
nextRational4[{x1_, y1_}, {x2_, y2_}] :=
{Slope4[{x1, y1}, {x2, y2}]^2 - CoefficientList[curve4[[2]], x][[3]] - x1 - x2,
-Slope4[{x1, y1}, {x2, y2}]^3 + Slope4[{x1, y1}, {x2, y2}]*(CoefficientList[curve4[[2]], x][[3]] + x1 + x2) - Intercept4[{x1, y1}, {x2, y2}]};
(* Función para convertir un punto en la curva elíptica a una solución diofántica *)
ellipticToDiophantine[n_, {x_, y_}] :=
{(8*(n + 3) - x + y)/(2*(4 - x)*(n + 3)),
(8*(n + 3) - x - y)/(2*(4 - x)*(n + 3)),
(-4*(n + 3) - (n + 2)*x)/((4 - x)*(n + 3))};
(* Usar nextRational4 para iterar desde P4 hasta encontrar una solución
válida y positiva para la ecuación diofántica *)
sol4 = ellipticToDiophantine[n,
NestWhile[nextRational4[#, P4] &, P4,
! AllTrue[ellipticToDiophantine[n, #], Function[item, item > 0]] &]];
(* Escalar la solución para obtener enteros mínimos *)
MinSol4 = sol4*(LCM @@ Denominator[sol4])
(* Suma de las tres variables*)
Total[MinSol4]
Solución
Concatenando Flag- con el resultado de Mathematica tenemos la ansiada flag.
ChatGPT ha demostrado ser eficaz en el análisis y la resolución de problemas, siempre que se le proporcione el contexto adecuado. Sin embargo, es importante ser conscientes de que la respuesta proporcionada puede ser aproximada, especialmente si la solución requiere una gran cantidad de recursos computacionales. Por ejemplo, al trabajar con una ecuación diofántica y valores específicos para (x) e (y), ChatGPT puede ayudar a calcular puntos como (P), (2P), (3P), etc., pero hay que tener en cuenta que los resultados para estos puntos pueden ser estimaciones.
Finalmente, os invito a leer la solución de Mingliang Z. [4], en la que se resuelve el problema por completo y de forma muy detallada.
Siguiendo con los crackmes que contienen RSA, esta vez tenemos un Keygenme del grupo PGC (Pirates Gone Crazy) que incluso servía para ser admitido en el grupo si mandabas la solución. Como veremos usa RSA32 + MD5 y en la parte de RSA ni siquiera usa el descifrado por lo que es de los sencillitos.
Resumen RSA
Parámetros
p = Primer número primo
q = Segundo número primo
e = Exponente público que cumpla MCD(e,(p-1)*(q-1))==1
n = Módulo público siendo n=p*q
d = Exponente privado que cumpla d=e^(-1) mod ((p-1)*(q-1))
De este modo e y n son la parte pública de la clave y d y n la parte privada. Los número primos p y q se utilizan solo para generar los parámetros y de ahí en adelante se pueden desechar.
Funciones de Cifrado/Descifrado
cifrado = descifrado ^ e mod n
descifrado = cifrado ^ d mod n
Debug
En las referencias de texto se ven a simple vista el exponente públicoe (10001) y el módulo n (8e701a4c793eb8b739166bb23b49e421)
Text strings referenced in RSA32+MD:.text
Address Disassembly Text string
00401848 PUSH RSA32+MD.00404104 ASCII "%.8x%.8x%.8x%.8x"
00401A72 PUSH RSA32+MD.0040429C ASCII "[PGCTRiAL/2oo2]"
00401AEE PUSH RSA32+MD.00404275 ASCII "10001"
00401AFE PUSH RSA32+MD.0040427B ASCII "8e701a4c793eb8b739166bb23b49e421"
00401B43 PUSH RSA32+MD.00404404 ASCII "Name Must Be >= 1 Character."
00401B57 PUSH RSA32+MD.00404421 ASCII "Key Must Be >= 1 Character."
00401B6D PUSH RSA32+MD.0040443D ASCII "Congratulations!"
00401B72 PUSH RSA32+MD.0040444E ASCII " You've done it!
Please send your keygen along with
source code to pgc@dangerous-minds.com
if you would like to be considered as
a new member of PGC."
00401BE7 PUSH 0 (Initial CPU selection)
00401C47 MOV [DWORD SS:EBP-24],RSA32+MD.00404119 ASCII "PGCWinClass"
00401C7C MOV [DWORD SS:EBP-24],RSA32+MD.0040424E ASCII "STATIC"
00401CDB PUSH RSA32+MD.00404115 ASCII "PGC"
00401CE0 PUSH RSA32+MD.00404119 ASCII "PGCWinClass"
00401D13 PUSH RSA32+MD.00404125 ASCII "EDIT"
00401D46 PUSH RSA32+MD.00404125 ASCII "EDIT"
00401DFB PUSH RSA32+MD.00404115 ASCII "PGC"
00401E00 PUSH RSA32+MD.0040424E ASCII "STATIC"
Como vemos comprueba que tanto el nombre como el número de serie tengan al menos un dígito y a continuación comienza el chequeo del serial. El chequeo es muy sencillo ya que ni siquiera tenemos que buscar los números primos p y q y a continuación n, simplemente podemos obtener el número de serie con la parte pública de la clave (par de número e y n). Lo resumimos a continuación:
Concatena nuestro nombre con la cadena «[PGCTRiAL/2oo2]»
Crea el hash MD5 de la cadena concatenada.
Cifra el hash usando el par de números e y n obtenidos en las referencias de texto.
//
// md5(deurus[PGCTRiAL/2oo2]) = dc8a39282da8539d11b8a6aec000c45a
//
var c = BigInt("0xdc8a39282da8539d11b8a6aec000c45a");
var e = BigInt("0x10001");
var n = BigInt("0x8e701a4c793eb8b739166bb23b49e421");
//
var serial = BigInt(0);
serial = powmod(c, e, n);
document.write(serial.toString(16));
//
//POWMOD
//
function powmod(base, exp, modulus) {
var accum = BigInt("1");
var i = BigInt("0");
var basepow2 = BigInt(base);
while ((BigInt(exp) >> BigInt(i) > BigInt(0))) {
if (((BigInt(exp) >> BigInt(i)) & BigInt(1)) == BigInt(1)) {
accum = (BigInt(accum) * BigInt(basepow2)) % BigInt(modulus);
}
basepow2 = (BigInt(basepow2) * BigInt(basepow2)) % BigInt(modulus);
i++;
}
return BigInt(accum);
}
Warning: This challenge is still active and therefore should not be resolved using this information. Aviso: Este reto sigue en activo y por lo tanto no se debería resolver utilizando esta información.
Realistic Challenge 5: There is a new company out called NullCo. Have a look around the site and see what you can do.
Hay una nueva compañia llamada NullCo. Echa un vistazo a la web haber que puedes hacer.
Analizando a la víctima
Echamos un vistazo a la web y lo único interesante que vemos es un buscador.
Miramos el código fuente y vemos una ruta interesante.
Si exploramos la ruta «http://www.thisislegal.com/nc/adm/» nos aparece un login. Metemos cualquier cosa y el mensaje de error da demasiada información.
Ahora fijémonos en el menú productos. Pinchamos sobre cualquier producto y a continuación en la imagen para ampliarla, veremos el siguiente enlace.
Vamos a ver si podemos explotar «i.php«. Probamos a obtener información sensible del servidor.
Probamos «http://www.thisislegal.com/nc/i.php?img=adm/login.pwd» y nos da error, seguramente por que está anexionando la extensión de la imagen, es decir, el script está interpretando esto:
Hace poco me puse a leer El oscuro pasajero de Jeff Lindsay, novela que inspiró la serie Dexter. La nostalgia me invadió y al final decidí volver a ver la primera temporada que tanto me gustó hace unos años. Para mi sorpresa, muchos de los detalles que recordaba de la serie eran incorrectos o incompletos. Bueno, el caso es que en esta ocasión me he fijado más en los detalles y he descubierto una pequeña perla en el capítulo 8 de la primera temporada.
ALERTA DE SPOILER: Aunque la serie tiene unos añitos no quisiera fastidiarsela a nadie. Si continuas leyendo puede que te enteres de algo que no quieras.
En un momento dado, a Dexter se le ocurre la feliz idea de contactar con el asesino en serie que le está dejando regalitos y no se le ocurre mejor idea que hacerlo en una web de contactos cualquiera. La web en cuestión es www.miamilist12.com/miami/main y Dexter decide escribir un mensaje en el hilo missed connections. A continuación la secuencia de imágenes.
mailto:frozenbarbie@hotmail.???
La simple idea de escribir en un tablón, foro, lista, etc y esperar que el asesino en serie lo lea ya es una locura. Pero señor@s, esto es ficción, y por supuesto el asesino no solo ve el mensaje si no que responde a Dexter creando un pequeño error con las direcciones de email. Y es que cuando el asesino ve el mensaje se puede apreciar que la dirección de email de Dexter es frozenbarbie@hotmail.web y cuando el asesino le responde, se ve claramente que lo hace a la dirección frozenbarbie@hotmail.com. A continuación las imágenes.
Además me ha llamado la atención que aunque es evidente que el asesino usa Windows XP, se puede apreciar que han retocado en post-producción el botón de inicio para que quede oculto.
