Hace unos años cuando empecé a trastear con Android y animado por mi afición a la Ingeniería Inversa, decidí realizar una serie de crackmes. Los dos primeros pasaron algo desapercibidos, pero el Crackme nº3 tuvo una gran repercusión en el mundillo y, aunque no fue el primer crackme para Android ni mucho menos, si que fue uno de los más estudiados. Todos ellos fueron publicados a través de crackmes.de y el nº3 en cuestión el 6 de Noviembre de 2010. Os dejo una lista de unas cuantas webs donde aparece analizado para que veáis la repercusión que a mi parecer tuvo.
File carving is the process of reassembling computer files from fragments in the absence of filesystem metadata. Wikipedia. "File carving", literalmente tallado
File carving is the process of reassembling computer files from fragments in the absence of filesystem metadata. Wikipedia.
«File carving», literalmente tallado de archivos aunque lo traduciremos como extracción, es el proceso de re-ensamblado de archivos extraídos de un conjunto de mayor tamaño.
List of headers and tails / Lista de cabeceras y pies
Header = Cabecera
Footer or tail = Pie
Image files / Archivos de imagen
JPEG
Header: FFD8
Footer: FFD9
GIF87a
Header: 47 49 46 38 37 61
Footer: 00 3B
GIF89a
Header: 47 49 46 38 39 61
Footer: 00 3B
BMP
Header: 42 4D
Footer: Don’t have footer, but size is in bytes 2,3,4,5 in little-endian order (low byte first).
Example: 00 00 C0 38 == 49208 bytes
PNG
Header: 89 50 4E 47 0D 0A 1A 0A
Footer: 49 45 4E 44 AE 42 60 82
Microsoft Office >2007
All this documents have the same header and footer, because of this, we need search the middle bytes. This type uses a ZIP file package.
Los documentos de Microsoft Office >2007 tienen la misma cabecera y pie, por lo que necesitamos bytes intermedios para distinguirlos. Usan encapsulado ZIP.
DOCX
Header: 50 4B 03 04 14 00 06 00
Middle: 77 6F 72 64 (word)
Footer: 50 4B 05 06 (PK..) followed by 18 additional bytes at the end of the file.
All this documents have the same header and footer, because of this, we need some bytes to differentiate them. In this case we can do this jumping 73 bytes from header. This type uses a ZIP file package.
Los documentos de OpenOffice tienen la misma cabecera y pie, por lo que necesitamos bytes intermedios para distinguirlos. Usan encapsulado ZIP.
Footer: 6D 61 6E 69 66 65 73 74 2E 78 6D 6C 50 4B 05 06 (manifest.xmlPK) followed by 18 additional bytes.
Autocad
DWG (R11/R12 versions)
Header: 41 43 31 30 30 39
Footer: CD 06 B2 F5 1F E6
DWG (R14 version)
Header: 41 43 31 30 31 34
Footer: 62 A8 35 C0 62 BB EF D4
DWG (2000 version)
Header: 41 43 31 30 31 34
Footer: DB BF F6 ED C3 55 FE
DWG (>2007 versions)
Header: 41 43 31 30 XX XX
Footer: Don’t have
Note: >2007 versions have two patterns and the key is the position 0x80. If in this position we get the bytes «68 40 F8 F7 92», we need to search again for this bytes and displace 107 bytes to find the end of the file. If in the position 0x80 we get another different bytes, we need to search again this bytes and displace 1024 bytes to find the end of the file.
Nota: Las versiones >2007 siguen dos patrones y la clave está en la posición 0x80. Si en la posicion 0x80 obtenemos los bytes «68 40 F8 F7 92», los buscamos una segunda vez y ha 107 bytes encontramos el final del archivo. Si en la posición 0x80 obtenemos otros bytes diferentes a los del primer caso, los volvemos a buscar y a 1024 bytes hallaremos el final del archivo.
Others / Otros
PDF
Header: 25 50 44 46 (%PDF)
Footers:
0A 25 25 45 4F 46 (.%%EOF) or
0A 25 25 45 4F 46 0A (.%%EOF.) or
0D 0A 25 25 45 4F 46 0D 0A (..%%EOF..) or
0D 25 25 45 4F 46 0D (.%%EOF.)
ZIP
Header: 50 4B 03 04
Footer: 50 4B 05 06 (PK..) followed by 18 additional bytes at the end of the file.
RAR (< 4.x version)
Header: 52 61 72 21 1A 07 00
Tail: C4 3D 7B 00 40 07 00
7ZIP
Header: 37 7A BC AF 27 1C 00 03 (7z¼¯’…)
Footer: 01 15 06 01 00 20 followed by 5 additional bytes at the end of the file.
Warning: This challenge is still active and therefore should not be resolved using this information. Aviso: Este reto sigue en activo y por lo tanto no se debería resolver utilizando esta información.
If we go to the link, we view one string like a hash: 68a571bcf7bc9f76d43bf931f413ab2c. Umm, it’s like MD5. Go to decrypt online and we get the pass: «canyouhack.it». But if we test this password in the crackme, surprise!, nothing happens. We need to continue analyzing the code. Later we view the next interesting link:
La solución que he encontrado yo, es convertir el código brainfuck a algo más amigable y depurarlo hasta encontrar la solución. La conversión la he realizado con VBBrainFNET y luego la depuración con Visual Studio. El crackme te pide una clave de cuatro cifras para darte la solución, pero si no quieres volverte loco puedes amañar los bucles para encontrar la solución.
Hoy nos enfrentamos a un crackme realizado en Delphi con un algoritmo bastante sencillo. Está empacado con UPX pero aquí no vamos a explicar como desempacarlo ya que UPX es un reductor de tamaño más que un empacador, incluso con el propio empacador podemos desempacarlo.
Abrimos Olly y vamos a las string references, localizamos los mensajes de error y éxito y pulsamos sobre cualquiera.
Encima de los mensajes tenemos la rutina de comprobación del serial. En la primera imagen vemos que comprueba que no dejemos ningún campo vacío y a continuación se mete de lleno con el serial.
Este BTM va otra vez sobre IPs. Si amigos del séptimo arte, viendo un capítulo de mi querida «The Sinner» me han vuelto a chirriar los dientes. La verdad que viendo el capítulo no te da tiempo a apreciarlo, únicamente me quedo con que aparece una URL y lo reviso a posteriori (esto lo digo para los curiosos que me preguntáis).
En esta ocasión me tiene un poco inquieto ya que es una serie que cuida enormemente los detalles y el fallo que os voy a mostrar parece intencionado. La imagen en cuestión es esta:
Fotograma del capítulo 2×06
Aparece un buscador con una URL más o menos creíble si no fuera porque la IP que aparece es IMPOSIBLE. La máxima IPv4 es 255.255.255.255, es decir, no han dado ni una, y eso es lo que me tiene mosca. Si hubieran utilizado 82.47.25.29 hubiera quedado bien y estaríamos hablando de un problema de geolocalización de IPs, ya que el rango 82.47.xx.xx le pertenece a UK y deberíamos discernir si el servidor está en EEUU o no…
En definitiva, puede ser un fallo a propósito, un guiño o tener un significado. No se que deciros, bueno si, ¡lo investigaré!
Empezamos con lo que espero que sea una serie de crackmes RSA. En este caso en particular y como el propio autor nos adelanta, se trata de RSA-200.
En criptografía, RSA (Rivest, Shamir y Adleman) es un sistema criptográfico de clave pública desarrollado en 1977. Es el primer y más utilizado algoritmo de este tipo y es válido tanto para cifrar como para firmar digitalmente.
Funcionamiento de RSA
Inicialmente es necesario generar aleatoriamente dos números primos grandes, a los que llamaremos p y q.
A continuación calcularemos n como producto de p y q:
n = p * q
Se calcula fi:
fi(n)=(p-1)(q-1)
Se calcula un número natural e de manera que MCD(e, fi(n))=1 , es decir e debe ser primo relativo de fi(n). Es lo mismo que buscar un numero impar por el que dividir fi(n) que de cero como resto.
Mediante el algoritmo extendido de Euclides se calcula d que es el inverso modular de e.
Puede calcularse d=((Y*fi(n))+1)/e para Y=1,2,3,... hasta encontrar un d entero.
El par de números (e,n) son la clave pública.
El par de números (d,n) son la clave privada.
Cifrado: La función de cifrado es.
c = m^e mod n
Descifrado: La función de descifrado es.
m = c^d mod n
OllyDbg
Con OllyDbg analizamos la parte del código que nos interesa.
Lo primero que observamos es que el código nos proporciona el exponente público (e) y el módulo (n).
e = 10001
n = 8ACFB4D27CBC8C2024A30C9417BBCA41AF3FC3BD9BDFF97F89
A continuación halla c = serial^d mod n. Finalmente Divide c entre 0x1337 y lo compara con el nombre.
Como hemos visto en la teoría de RSA, necesitamos hallar el exponente privado (d) para poder desencriptar, según la fórmula vista anteriormente.
Fórmula original: m=c^d mod n
Nuestra fórmula: Serial = x^d mod n. Siendo x = c * 0x1337
Calculando un serial válido
Existen varios ataques a RSA, nosotros vamos a usar el de factorización. Para ello vamos a usar la herramienta RSA Tool. Copiamos el módulo (n), el exponente público (e) y factorizamos (Factor N).
Hallados los primos p y q, hallamos d (Calc. D).
Una vez obtenido d solo nos queda obtener x, que recordemos es nombre * 0x1337.
Cuando decimos nombre nos referimos a los bytes del nombre en hexadecimal, para deurus serían 646575727573.
Ejemplo operacional
Nombre: deurus
x = 646575727573 * 0x1337 = 7891983BA4EC4B5
Serial = x^d mod n
Serial = 7891983BA4EC4B5^32593252229255151794D86C1A09C7AFCC2CCE42D440F55A2D mod 8ACFB4D27CBC8C2024A30C9417BBCA41AF3FC3BD9BDFF97F89
Serial = FD505CADDCC836FE32E34F5F202E34D11F385DEAD43D87FCD
Como la calculadora de Windows se queda un poco corta para trabajar con números tan grandes, vamos a usar la herramienta Big Integer Calculator. A continuación os dejo unas imágenes del proceso.
Keygen
En esta ocasión hemos elegido Java ya que permite trabajar con números grandes de forma sencilla, os dejo el código más importante.
JButton btnNewButton = new JButton("Generar");
btnNewButton.addActionListener(new ActionListener() {
public void actionPerformed(ActionEvent arg0) {
BigInteger serial = new BigInteger("0");
BigInteger n = new BigInteger("871332984042175151665553882265818310920539633758381377421193");//módulo
BigInteger d = new BigInteger("316042180198461106401603389463895139535543421270452849695277");//exponente privado
BigInteger x = new BigInteger("4919");//0x1337
String nombre = t1.getText();
BigInteger nombre2 = new BigInteger(nombre.getBytes());
nombre2 = nombre2.multiply(x);
serial = nombre2.modPow(d, n);
t2.setText(serial.toString(16).toUpperCase());
}
});
Este un crackme muy interesante para principiantes ya que la rutina no es muy compleja. Está hecho en ensamblador.
Saltar el antidebug
Arrancamos el crackme en Olly damos al play y se cierra. Buscamos en las «Intermodular Calls» y vemos «IsDebuggerPresent«, clickamos sobre ella y vemos el típico call, lo NOPeamos.
Aquí vemos el call.
Call Nopeado.
Encontrando un serial válido
Encontrar en serial válido en esta ocasión es muy sencillo, basta con buscar en las «String References» el mensaje de «Bad boy» y fijarse en la comparación.
El algoritmo
Si nos fijamos en el serial generado nos da muchas pistas pero vamos a destriparlo ya que tampoco tiene mucha complicación. De nuevo miramos en las «String references» y clickamos sobre el mensaje de «bad boy«. Encima de los mensajes vemos claramente la rutina de creación del serial.
Comprueba si el dígito está es mayúsculas y si está le sume 2C al valor ascii.
Suma el valor ascii de todos los dígitos menos el último.
SUM + 29A
SUM * 3039
SUM – 17
SUM * 9
Finalmente concatena letras siguiendo este criterio:
Len(nombre) = 4 -> coje la última letra
Len(nombre) = 5 -> coje las dos últimas
Len(nombre) = 6 -> coje las tres últimas
Len(nombre) = 7 -> coje las cuatro últimas
Len(nombre) = 8 -> coje las cinco últimas
Len(nombre) = 9 -> coje las seis últimas
Len(nombre) = A -> coje las siete últimas
Ejemplo para deurus
d e u r u (s)
64+65+75+72+75 = 225
225 + 29A = 4BF
4BF * 3039 = E4DE87
E4DE87 - 17 = E4DE70
E4DE70 * 9 = 80BD1F0
;Pasamos a decimal y concatenamos
134992368rus
Ejemplo para Deurus
D e u r u (s)
44(+2C)+65+75+72+75 = 25D
25D + 29A = 4F7
4BF * 3039 = EF6AFF
EF6AFF - 17 = EF6AE8
EF6AE8 * 9 = 86AC228
;Pasamos a decimal y concatenamos
141214248rus
Como curiosidad decirtos que con el tiempo valores del estilo 29A y 3039 os pegarán rápido al ojo ya que equivalen a 666 y 12345 en decimal. Por cierto 29A fue un grupo de hackers creadores de virus muy conocido en la escena Nacional e Internacional.
Introducción Objetivo del juego y normas Código inicial Primeras modificaciones Terminando la faena Código ganador Curiosidades Enlaces Introducción Hace tiempo
Se nos entrega un html con un juego que consiste en hacer clic en un botón tantas veces como podamos para ganar al juego. Acompañando al html tenemos un código javascript ofuscado aparentemente con Obfuscator.io
El código javascript ofuscado tiene el siguiente aspecto.
Deofuscado el código con la web Obfuscator.io llegamos a interpretar la estructura aunque sigue siendo un galimatías en gran parte. Aún así, si nos fijamos al final encontramos una parte interesante con una clave encriptada cuya desencriptación depende de una comparación (línea 13 resaltada). Invirtiendo esa comparación engañamos al código y obtenemos la flag.
Hace tiempo que me aficioné a los retos de Hacking y Cracking, y si bien la mayoría de ellos consisten en desencriptar una clave o realizar ingeniería inversa sobre un ejecutable, también los hay sobre programación pura y dura.
En esta ocasión se nos proporciona un código «muestra» parecido a PHP o C++ y tenemos que ingeniarnoslas para mejorarlo y ganar a la máquina.
Objetivo del juego y normas
El objetivo de esta misión es ganar a Tr0n en su propio juego: las carreras de motos. Se te proporcionará un programa (código) funcional para que veas como se controla el vehiculo. Usando tu inteligencia, tendrás que entender su uso y mejorarlo, ya que no es lo suficientemente bueno como para ganar a Tr0n. Tr0n lleva ya bastante tiempo en la parrilla de juegos y es bastante habilidoso 🙂
Cuando venzas a Tr0n un mínimo de 5 veces consecutivas, se te dará por superada esta prueba.
Buena suerte!!!
[ Available functions / Funciones disponibles ]
direction() returns current direction, change to a new one with direction([newdir])
getX(), getY() returns X and Y coordinates
collisionDistance() | collisionDistance([anydir]) returns the distance until collision
Note: parameters [*dir] can be empty or one of this values: UP DOWN LEFT or RIGHT
[ Constants / Constantes ]
UP DOWN LEFT RIGHT MAX_X MAX_Y
[ Rules / Reglas ]
Try to survive driving your bike and … / Intenta sobrevivir conduciendo tu moto y…
Don’t cross any line / No cruces ninguna línea
or crash with the corners! / o choques con las esquinas!
[ Mission / Mision ]
Use well this controller and beat Tr0n 5 consecutive times to score in this game
Usa bien este controlador y vence a Tr0n 5 veces consecutivas para puntuar en este juego
Código inicial
Nada más comenzar vemos que hemos perdido nuestra primera partida con el siguiente código:
Lo primero que tenemos que modificar son las distancias de las coordenadas que estan puestas en «<10» al mínimo, que sería «<2«. También sustituir la aleatoriedad «rand(0,1)==0» por algo más útil y comenzar a usar la función «collisionDistance()«.
Como podéis observar en el código inferior, usamos la función «collisionDistance()» para detectar cuando estamos a punto de chocar «collisionDistance() ==1» y para detectar a que lado nos conviene más girar en función de donde podamos recorrer más distancia «if($c->collisionDistance([LEFT]) >2) $c->direction(LEFT); else $c->direction(RIGHT);«.
El código anterior de por sí no nos resuelve mucho si no afinamos un poco más, comprobando todos las posibles colisiones y tomando la dirección correcta en función de la mayor distancia a recorrer.
El código no es infalible ya que como comprabaréis vosotros mismos, no se puede ganar siempre por el mero hecho de la aleatoriedad y de la suerte. Cuando dispongais de un código decente, ejecutarlo varias veces para estar seguros antes de desecharlo.
Curiosidades
Como se suele decir, la banca siempre gana, y en este caso no iba a ser menos y es que en caso de empate ¡la banca gana!
Por último deciros que podéis utilizar el código ya que la web detecta los códigos ganadores para que no se repitan.
Aquí tenemos un Crackme clásico creado por Scarebyte hallá por el año 2000 y que cuenta con varias fases siendo un crackme muy interesante para iniciarse o simplemente para divertirse. Al estar realizado en Delphi, los apartados de las checkboxes y de las trackbars se simplifican y mucho, pero aún así hay que currarselo un poco para dejar todo bien atado. Si os fijáis en las soluciones que aparecen en crackmes.de, en aquellos años se usaba DEDE y aunque yo usaré otra herramienta, DEDE sigue siendo igual de útil.
Desempacado
PEiD nos dice que nos enfrentamos a ASPack 1.08.03 -> Alexey Solodovnikov, así que vamos al lío.
Eliminar la NAG
Tan sencillo como poner un Breakpoint a User32.MessageBoxA. La llamada a NOPear está en la dirección 441CF2.
Password
Desde las string references localizamos los mensajes de chico bueno y chico malo que nos llevan al código a analizar.
0044C3CD |. E8 5294FDFF CALL CrackMe_.00425824
0044C3D2 |. 8B45 FC MOV EAX,[LOCAL.1]
0044C3D5 |. E8 9A76FBFF CALL CrackMe_.00403A74
0044C3DA |. 83F8 0C CMP EAX,0C ; Lengh C = 12
0044C3DD |. 0F85 53010000 JNZ CrackMe_.0044C536 ; Salto a chico malo
0044C3E3 |. 8D55 FC LEA EDX,[LOCAL.1]
0044C3E6 |. 8B83 E8020000 MOV EAX,DWORD PTR DS:[EBX+2E8]
0044C3EC |. E8 3394FDFF CALL CrackMe_.00425824
0044C3F1 |. 8B45 FC MOV EAX,[LOCAL.1]
0044C3F4 |. 8038 43 CMP BYTE PTR DS:[EAX],43 ; 1º dígito serial = C
0044C3F7 |. 0F85 27010000 JNZ CrackMe_.0044C524 ; Salto a chico malo
0044C3FD |. 8D55 F8 LEA EDX,[LOCAL.2]
0044C400 |. 8B83 E8020000 MOV EAX,DWORD PTR DS:[EBX+2E8]
0044C406 |. E8 1994FDFF CALL CrackMe_.00425824
0044C40B |. 8B45 F8 MOV EAX,[LOCAL.2]
0044C40E |. 8078 03 6F CMP BYTE PTR DS:[EAX+3],6F ; 4º dígito serial = o
0044C412 |. 0F85 0C010000 JNZ CrackMe_.0044C524 ; Salto a chico malo
0044C418 |. 8D55 F4 LEA EDX,[LOCAL.3]
0044C41B |. 8B83 E8020000 MOV EAX,DWORD PTR DS:[EBX+2E8]
0044C421 |. E8 FE93FDFF CALL CrackMe_.00425824
0044C426 |. 8B45 F4 MOV EAX,[LOCAL.3]
0044C429 |. 8078 08 6F CMP BYTE PTR DS:[EAX+8],6F ; 9º dígito serial = o
0044C42D |. 0F85 F1000000 JNZ CrackMe_.0044C524 ; Salto a chico malo
0044C433 |. 8D55 F0 LEA EDX,[LOCAL.4]
0044C436 |. 8B83 E8020000 MOV EAX,DWORD PTR DS:[EBX+2E8]
0044C43C |. E8 E393FDFF CALL CrackMe_.00425824
0044C441 |. 8B45 F0 MOV EAX,[LOCAL.4]
0044C444 |. 8078 01 6C CMP BYTE PTR DS:[EAX+1],6C ; 2º dígito serial = l
0044C448 |. 0F85 D6000000 JNZ CrackMe_.0044C524 ; Salto a chico malo
0044C44E |. 8D55 EC LEA EDX,[LOCAL.5]
0044C451 |. 8B83 E8020000 MOV EAX,DWORD PTR DS:[EBX+2E8]
0044C457 |. E8 C893FDFF CALL CrackMe_.00425824
0044C45C |. 8B45 EC MOV EAX,[LOCAL.5]
0044C45F |. 8078 04 20 CMP BYTE PTR DS:[EAX+4],20 ; 5º dígito serial = espacio
0044C463 |. 0F85 BB000000 JNZ CrackMe_.0044C524 ; Salto a chico malo
0044C469 |. 8D55 E8 LEA EDX,[LOCAL.6]
0044C46C |. 8B83 E8020000 MOV EAX,DWORD PTR DS:[EBX+2E8]
0044C472 |. E8 AD93FDFF CALL CrackMe_.00425824
0044C477 |. 8B45 E8 MOV EAX,[LOCAL.6]
0044C47A |. 8078 0A 52 CMP BYTE PTR DS:[EAX+A],52 ; 11º dígito serial = R
0044C47E |. 0F85 A0000000 JNZ CrackMe_.0044C524 ; Salto a chico malo
0044C484 |. 8D55 E4 LEA EDX,[LOCAL.7]
0044C487 |. 8B83 E8020000 MOV EAX,DWORD PTR DS:[EBX+2E8]
0044C48D |. E8 9293FDFF CALL CrackMe_.00425824
0044C492 |. 8B45 E4 MOV EAX,[LOCAL.7]
0044C495 |. 8078 07 75 CMP BYTE PTR DS:[EAX+7],75 ; 8º dígito serial = u
0044C499 |. 0F85 85000000 JNZ CrackMe_.0044C524 ; Salto a chico malo
0044C49F |. 8D55 E0 LEA EDX,[LOCAL.8]
0044C4A2 |. 8B83 E8020000 MOV EAX,DWORD PTR DS:[EBX+2E8]
0044C4A8 |. E8 7793FDFF CALL CrackMe_.00425824
0044C4AD |. 8B45 E0 MOV EAX,[LOCAL.8]
0044C4B0 |. 8078 09 6E CMP BYTE PTR DS:[EAX+9],6E ; 10º dígito serial = n
0044C4B4 |. 75 6E JNZ SHORT CrackMe_.0044C524 ; Salto a chico malo
0044C4B6 |. 8D55 DC LEA EDX,[LOCAL.9]
0044C4B9 |. 8B83 E8020000 MOV EAX,DWORD PTR DS:[EBX+2E8]
0044C4BF |. E8 6093FDFF CALL CrackMe_.00425824
0044C4C4 |. 8B45 DC MOV EAX,[LOCAL.9]
0044C4C7 |. 8078 02 6E CMP BYTE PTR DS:[EAX+2],6E ; 3º dígito serial = n
0044C4CB |. 75 57 JNZ SHORT CrackMe_.0044C524 ; Salto a chico malo
0044C4CD |. 8D55 D8 LEA EDX,[LOCAL.10]
0044C4D0 |. 8B83 E8020000 MOV EAX,DWORD PTR DS:[EBX+2E8]
0044C4D6 |. E8 4993FDFF CALL CrackMe_.00425824
0044C4DB |. 8B45 D8 MOV EAX,[LOCAL.10]
0044C4DE |. 8078 05 69 CMP BYTE PTR DS:[EAX+5],69 ; 6º dígito serial = i
0044C4E2 |. 75 40 JNZ SHORT CrackMe_.0044C524 ; Salto a chico malo
0044C4E4 |. 8D55 D4 LEA EDX,[LOCAL.11]
0044C4E7 |. 8B83 E8020000 MOV EAX,DWORD PTR DS:[EBX+2E8]
0044C4ED |. E8 3293FDFF CALL CrackMe_.00425824
0044C4F2 |. 8B45 D4 MOV EAX,[LOCAL.11]
0044C4F5 |. 8078 0B 6E CMP BYTE PTR DS:[EAX+B],6E ; 12º dígito serial = n
0044C4F9 |. 75 29 JNZ SHORT CrackMe_.0044C524 ; Salto a chico malo
0044C4FB |. 8D55 D0 LEA EDX,[LOCAL.12]
0044C4FE |. 8B83 E8020000 MOV EAX,DWORD PTR DS:[EBX+2E8]
0044C504 |. E8 1B93FDFF CALL CrackMe_.00425824
0044C509 |. 8B45 D0 MOV EAX,[LOCAL.12]
0044C50C |. 8078 06 67 CMP BYTE PTR DS:[EAX+6],67 ; 7º dígito serial = g
0044C510 |. 75 12 JNZ SHORT CrackMe_.0044C524 ; Salto a chico malo
0044C512 |. BA 78C54400 MOV EDX,CrackMe_.0044C578 ; ASCII "Right Password"
0044C517 |. 8B83 E8020000 MOV EAX,DWORD PTR DS:[EBX+2E8]
0044C51D |. E8 3293FDFF CALL CrackMe_.00425854
0044C522 |. EB 22 JMP SHORT CrackMe_.0044C546
0044C524 |> BA 90C54400 MOV EDX,CrackMe_.0044C590 ; ASCII "Wrong Password"
0044C529 |. 8B83 E8020000 MOV EAX,DWORD PTR DS:[EBX+2E8]
0044C52F |. E8 2093FDFF CALL CrackMe_.00425854
0044C534 |. EB 10 JMP SHORT CrackMe_.0044C546
0044C536 |> BA 90C54400 MOV EDX,CrackMe_.0044C590 ; ASCII "Wrong Password"
Chequeo rápido
ABCD EFGHIJK
Clno iguonRn
; 1º dígito serial = C
; 4º dígito serial = o
; 9º dígito serial = o
; 2º dígito serial = l
; 5º dígito serial = espacio
; 11º dígito serial = R
; 8º dígito serial = u
; 10º dígito serial = n
; 3º dígito serial = n
; 6º dígito serial = i
; 12º dígito serial = n
; 7º dígito serial = g
Básicamente chequea la frase «Cool Running» de forma desordenada como se ve justo encima, siendo el password correcto «Clno iguonRn«. Os dejo el código para que lo analicéis.
Nº serie asociado a un nombre
De nuevo con las string references localizamos el código.
0044C648 /. 55 PUSH EBP
0044C649 |. 8BEC MOV EBP,ESP
0044C64B |. 83C4 F8 ADD ESP,-8
0044C64E |. 53 PUSH EBX
0044C64F |. 56 PUSH ESI
0044C650 |. 33C9 XOR ECX,ECX
0044C652 |. 894D F8 MOV [LOCAL.2],ECX
0044C655 |. 8BF0 MOV ESI,EAX
0044C657 |. 33C0 XOR EAX,EAX
0044C659 |. 55 PUSH EBP
0044C65A |. 68 83C74400 PUSH CrackMe_.0044C783
0044C65F |. 64:FF30 PUSH DWORD PTR FS:[EAX]
0044C662 |. 64:8920 MOV DWORD PTR FS:[EAX],ESP
0044C665 |. 33C0 XOR EAX,EAX
0044C667 |. 8945 FC MOV [LOCAL.1],EAX
0044C66A |. A1 80F84400 MOV EAX,DWORD PTR DS:[44F880] ; Eax = Nombre
0044C66F |. E8 0074FBFF CALL CrackMe_.00403A74
0044C674 |. 83F8 06 CMP EAX,6 ; Cmp lengh nombre con 6
0044C677 |. 0F8E F0000000 JLE CrackMe_.0044C76D ; Salta si <= 6
0044C67D |. A1 80F84400 MOV EAX,DWORD PTR DS:[44F880] ; Eax = Nombre
0044C682 |. E8 ED73FBFF CALL CrackMe_.00403A74
0044C687 |. 83F8 14 CMP EAX,14 ; Cmp lengh nombre con 20 (14h)
0044C68A |. 0F8D DD000000 JGE CrackMe_.0044C76D ; salta si >= 20
0044C690 |. A1 80F84400 MOV EAX,DWORD PTR DS:[44F880]
0044C695 |. E8 DA73FBFF CALL CrackMe_.00403A74
0044C69A |. 85C0 TEST EAX,EAX
0044C69C |. 7E 17 JLE SHORT CrackMe_.0044C6B5
0044C69E |. BA 01000000 MOV EDX,1
0044C6A3 |> 8B0D 80F84400 /MOV ECX,DWORD PTR DS:[44F880] ; Bucle in
0044C6A9 |. 0FB64C11 FF |MOVZX ECX,BYTE PTR DS:[ECX+EDX-1]
0044C6AE |. 014D FC |ADD [LOCAL.1],ECX ; Suma dig nombre y guarda en 12FBC4
0044C6B1 |. 42 |INC EDX
0044C6B2 |. 48 |DEC EAX
0044C6B3 |.^ 75 EE \JNZ SHORT CrackMe_.0044C6A3 ; Bucle out
0044C6B5 |> A1 84F84400 MOV EAX,DWORD PTR DS:[44F884] ; Eax = Compañia
0044C6BA |. E8 B573FBFF CALL CrackMe_.00403A74
0044C6BF |. 83F8 02 CMP EAX,2 ; Cmp lengh compañia con 2
0044C6C2 |. 7E 18 JLE SHORT CrackMe_.0044C6DC ; Salta si <= 2
0044C6C4 |. A1 84F84400 MOV EAX,DWORD PTR DS:[44F884] ; Eax = Compañia
0044C6C9 |. E8 A673FBFF CALL CrackMe_.00403A74
0044C6CE |. 83F8 08 CMP EAX,8 ; Cmp lengh compañia con 8
0044C6D1 |. 7D 09 JGE SHORT CrackMe_.0044C6DC ; Salta si >= 8
0044C6D3 |. 8B45 FC MOV EAX,[LOCAL.1] ; Eax = sum nombre
0044C6D6 |. 6BC0 02 IMUL EAX,EAX,2 ; Sum nombre * 2
0044C6D9 |. 8945 FC MOV [LOCAL.1],EAX
0044C6DC |> 68 98C74400 PUSH CrackMe_.0044C798 ; ASCII "I Love Cracking and "
0044C6E1 |. 8D55 F8 LEA EDX,[LOCAL.2]
0044C6E4 |. 8B45 FC MOV EAX,[LOCAL.1]
0044C6E7 |. E8 68B0FBFF CALL CrackMe_.00407754
0044C6EC |. FF75 F8 PUSH [LOCAL.2] ; sum del nombre
0044C6EF |. 68 B8C74400 PUSH CrackMe_.0044C7B8 ; ASCII " Girls ;)"
0044C6F4 |. B8 8CF84400 MOV EAX,CrackMe_.0044F88C
0044C6F9 |. BA 03000000 MOV EDX,3
0044C6FE |. E8 3174FBFF CALL CrackMe_.00403B34 ; Concatena 1º frase + sum nombre + 2ºfrase
0044C703 |. 33C0 XOR EAX,EAX
0044C705 |. 8945 FC MOV [LOCAL.1],EAX
0044C708 |. A1 88F84400 MOV EAX,DWORD PTR DS:[44F888] ; Eax = Serial
0044C70D |. E8 6273FBFF CALL CrackMe_.00403A74
0044C712 |. 8BD8 MOV EBX,EAX
0044C714 |. A1 8CF84400 MOV EAX,DWORD PTR DS:[44F88C]
0044C719 |. E8 5673FBFF CALL CrackMe_.00403A74
0044C71E |. 3BD8 CMP EBX,EAX ; Compara tamaño frase con tamaño serial
0044C720 |. 75 4B JNZ SHORT CrackMe_.0044C76D
0044C722 |. A1 88F84400 MOV EAX,DWORD PTR DS:[44F888]
0044C727 |. E8 4873FBFF CALL CrackMe_.00403A74
0044C72C |. 85C0 TEST EAX,EAX
0044C72E |. 7E 27 JLE SHORT CrackMe_.0044C757
0044C730 |. BA 01000000 MOV EDX,1
0044C735 |> 8B0D 88F84400 /MOV ECX,DWORD PTR DS:[44F888] ; Bucle in -->
0044C73B |. 0FB64C11 FF |MOVZX ECX,BYTE PTR DS:[ECX+EDX-1]
0044C740 |. 034D FC |ADD ECX,[LOCAL.1]
0044C743 |. 8B1D 8CF84400 |MOV EBX,DWORD PTR DS:[44F88C]
0044C749 |. 0FB65C13 FF |MOVZX EBX,BYTE PTR DS:[EBX+EDX-1] ; Compara dígito a dígito nuestro serial
0044C74E |. 2BCB |SUB ECX,EBX ; con la concatenación anterior
0044C750 |. 894D FC |MOV [LOCAL.1],ECX
0044C753 |. 42 |INC EDX
0044C754 |. 48 |DEC EAX
0044C755 |.^ 75 DE \JNZ SHORT CrackMe_.0044C735 ; <-- Bucle out
0044C757 |> 837D FC 00 CMP [LOCAL.1],0
0044C75B |. 75 10 JNZ SHORT CrackMe_.0044C76D ; Salta si algo ha ido mal
0044C75D |. 8B86 14030000 MOV EAX,DWORD PTR DS:[ESI+314]
0044C763 |. BA CCC74400 MOV EDX,CrackMe_.0044C7CC ; "You have found the correct Serial :)"
En resumen
Tamaño del nombre entre 7 y 19.
Tamaño de la compañía entre 3 y 7 aunque no interviene en el serial.
Suma los valores ascii de los dígitos del nombre y lo multiplica por 2.
Concatena «I Love Cracking and » + «sum del nombre» + » Girls ;)».
Checkbox
Para afrontar esta parte del reto vamos a usar una herramienta llamada Interactive Delphi Reconstructoro IDR. En su día la mejor herramienta era DEDE, pero IDR a mi parecer es algo más potente.
Básicamente IDR nos permite sin quebraderos de cabeza localizar el código del botón que comprueba la secuencia de checkboxes correcta. Cargamos el crackme en IDR y dentro de la pestaña «Units (F2)«, abajo del todo hacemos doble click sobre «F Crack» y vemos que nos muestra todos los controles del formulario. El botón que nos interesa se llama «SpeedButton3«.
Si hacemos doble click sobre el nos muestra el código que se muestra a continuación.
Como podéis apreciar, las checkboxes involucradas son la 3, 5, 6, 9, 11, 12, 13, 15, 19 y 20. Solo nos falta saber cuales se corresponden con esa numeración y aquí ya depende de cada uno, yo en su día saqué los números a mano mediante el orden de tabulación, pero ya que tenemos IDR, el nos va a dar la solución de una forma sencilla y rápida.
Vamos a la pestaña «Forms (F5)«, seleccionamos la opción Form y hacemos doble click sobre el formulario.
Veréis que aparece el formulario con todos los recursos, incluso los puedes modificar. Localizar los checkboxes ahora es un juego de niños.
Os dejo un vídeo.
Trackbar
De nuevo, con la ayuda de IDR, localizamos la parte del código y analizamos su funcionamiento. Esta parte es la más divertida ya que requiere de un keygen pero en vez de coger el número de serie de una caja de texto lo obtiene de 5 trackbars como muestra la siguiente imagen.
1) Siendo nuestro serial : 1 2 3 4 5
a b c d e
2) Realiza las operaciones matemáticas:
Round(((Cos(sqrt(b^3+5)) + (-sqrt(a+1)) + Ln(c*3+1) + (-sqrt(d+2)) + ((e*3)/2))+0.37)*1000))
3) Obtenemos un hash resultante de 5415
4) XORea los dígitos de la siguiente manera:
(5)35 xor 86 = B6
(4)34 xor 83 = BD
(1)31 xor 86 = B7
(5)35 xor 8D = B8
De modo que tenemos B6BDB7B8
5) Compara B6BDB7B8 con B5BAB2BA
6) Revertimos el XOR para obtener el hash bueno
B5 xor 86 = 36(6)
BA xor 83 = 33(3)
B2 xor 86 = 34(4)
BA xor 8D = 37(7)
Luego el hash bueno es 6347
7) Debemos hacer fuerza bruta buscando:
Round(((Cos(sqrt(b^3+5)) + (-sqrt(a+1)) + Ln(c*3+1) + (-sqrt(d+2)) + ((e*3)/2))+0.37)*1000)) = 6347
Para obtener los seriales válidos podemos hacer bucles recursivos hasta recorrer las 10^5 opciones posibles. Una forma de hacerlo en VBNet es la siguiente.
Dim tmp As Double
Dim an, bn, cn, dn, en As Integer
For an = 0 To 9
For bn = 0 To 9
For cn = 0 To 9
For dn = 0 To 9
For en = 0 To 9
tmp = Round(((Cos(Sqrt((Pow(bn, 3)) + 5)) + (-Sqrt(an + 1)) + Log(cn * 3 + 1) + (-Sqrt(dn + 2)) + ((en * 3) / 2) + 0.37) * 1000))
txtdebug.Text = "a-b-c-d-e = Hash || " & an & "-" & bn & "-" & cn & "-" & dn & "-" & en & " = " & tmp
If tmp = 6347 Then
ListBox1.Items.Add("Serial: " & an & bn & cn & dn & en)
End If
Application.DoEvents()
Next
Next
Next
Next
Next
Os dejo como siempre el crackme y el keygen en los enlaces.
Hoy tenemos un crackme hecho en ensamblador y que cuenta con tres niveles. En el primero de todos nos enfrentamos a una «Splash screen» o nag. El segundo en un serial Hardcodeado y el tercero un número de serie asociado a un nombre.
Nopeando la Splash Screen
Abrimos el crackme con Olly y vamos a las «Intermodular Calls«, enseguida vemos la función que crea las ventanas «CreateWindowExA«. Se puede ver lo que parece ser la creación de la pantalla del crackme y al final hay algo que salta a la vista y es la propiedad «WS_TOPMOST», es decir, que se mantenga delante del resto de ventanas.
Pinchamos sobre la función y vamos a parar aquí.
Vemos la llamada a CreateWindowExA que podríamos parchear pero vamos a pensar un poco. Vemos la función GetTickCount y que carga el valor 7D0. 7D0 es 2000 en decimal, que perfectamente pueden ser milisegundos, por lo tanto el parcheo más elegante sería poner la función GetTickCount a 0. En la imagen inferior se puede ver como queda parcheado el valor 7D0.
Probamos y funciona, pasamos a lo siguiente.
Serial Hardcodeado
El mensaje de error del serial hardcodeado dice «Sorry, please try again». Lo buscamos en las string references y vamos a parar aquí.
Vemos un bucle de comparación que carga unos bytes de la memoria, los bytes dicen «HardCoded«, probamos y prueba superada.
El nombre y número de serie
Con el mismo método de las string references localizamos el código que nos interesa. Metemos deurus como nombre y 12345 como serial y empezamos a tracear. Lo primero que hace es una serie de operaciones con nuestro nombre a las que podemos llamar aritmética modular. Aunque en la imagen viene bastante detallado se vé mejor con un ejemplo.
Ejemplo para Nombre: deurus
d e u r u s
64 65 75 72 75 73 -hex
100 101 117 114 117 115 -dec
1ºByte = ((Nombre[0] % 10)^0)+2
2ºByte = ((Nombre[1] % 10)^1)+2
3ºByte = ((Nombre[2] % 10)^2)+2
4ºByte = ((Nombre[3] % 10)^3)+2
5ºByte = ((Nombre[4] % 10)^4)+2
6ºByte = ((Nombre[5] % 10)^5)+2
1ºByte = ((100 Mod 10) Xor 0) + 2
2ºByte = ((101 Mod 10) Xor 1) + 2
3ºByte = ((117 Mod 10) Xor 2) + 2
4ºByte = ((114 Mod 10) Xor 3) + 2
5ºByte = ((117 Mod 10) Xor 4) + 2
6ºByte = ((115 Mod 10) Xor 5) + 2
Si el byte > 10 --> Byte = byte - 10
1ºByte = 2
2ºByte = 2
3ºByte = 7
4ºByte = 9
5ºByte = 5
6ºByte = 2
Lo que nos deja que los Bytes mágicos para deurus son: 227952.
Debido a la naturaleza de la operación IDIV y el bucle en general, llegamos a la conclusión de que para cada letra es un solo byte mágico y que este está comprendido entre 0 y 9.
A continuación realiza las siguientes operaciones con el serial introducido.
Ejemplo para serial: 12345
1 2 3 4 5
31 32 33 34 35 -hex
49 50 51 52 53 -dec
49 mod 10 = 9
50 mod 10 = 0
51 mod 10 = 1
52 mod 10 = 2
53 mod 10 = 3
Los bytes mágicos del serial son: 90123, que difieren bastante de los conseguidos con el nombre.
A continuación compara byte a byte227952 con 90123.
En resumen, para cada nombre genera un código por cada letra y luego la comprobación del serial la realiza usando el módulo 10 del dígito ascii. Lo primero que se me ocurre es que necesitamos cotejar algún dígito del 0 al 9 para tener cubiertas todas las posibilidades. Realizamos manualmente mod 10 a los números del 0 al 9 y obtenemos sus valores.
(0) 48 mod 10 = 8
(1) 49 mod 10 = 9
(2) 50 mod 10 = 0
(3) 51 mod 10 = 1
(4) 52 mod 10 = 2
(5) 53 mod 10 = 3
(6) 54 mod 10 = 4
(7) 55 mod 10 = 5
(8) 56 mod 10 = 6
(9) 57 mod 10 = 7
Con esto ya podríamos generar un serial válido.
0123456789 - Nuestro alfabeto numérico
8901234567 - Su valor Mod 10
Por lo que para deurus un serial válido sería: 449174. Recordemos que los bytes mágicos para deurus eran «227952», solo hay que sustituir.
Para realizar un KeyGen más interesante, he sacado los valores de un alfabeto mayor y le he añadido una rutina aleatoria para que genere seriales diferentes para un mismo nombre.
'abcdefghijklmnñppqrstuvwxyz0123456789ABCDEFGHIJKLMNÑOPQRSTUVWXYZ - Alfabeto
'7890123456778901234567789018901234567567890123455678901234556880 - Valor
Dim suma As Integer = 0
'Para hacer el serial más divertido
Dim brute() As String = {"2", "3", "4", "5", "6", "7", "8", "9", "0", "1"}
Dim brute2() As String = {"d", "e", "f", "g", "h", "i", "j", "a", "b", "c"}
Dim brute3() As String = {"P", "Q", "R", "S", "T", "U", "j", "a", "D", "E"}
Dim alea As New Random()
txtserial.Text = ""
'Evito nombres mayores de 11 para evitar el BUG comentado en le manual
If Len(txtnombre.Text) > 0 And Len(txtnombre.Text) < 12 Then
For i = 1 To Len(txtnombre.Text)
Dim aleatorio As Integer = alea.Next(0, 9)
suma = (((Asc(Mid(txtnombre.Text, i, 1))) Mod 10) Xor i - 1) + 2
If suma > 9 Then
suma = suma - 10
End If
If (aleatorio) >= 0 And (aleatorio) <= 4 Then
txtserial.Text = txtserial.Text & brute(suma)
ElseIf (aleatorio) > 4 And (aleatorio) <= 7 Then
txtserial.Text = txtserial.Text & brute2(suma)
ElseIf (aleatorio) > 7 And (aleatorio) <= 10 Then
txtserial.Text = txtserial.Text & brute3(suma)
End If
suma = 0
Next
Else
txtserial.Text = "El Nombre..."
End If
Notas finales
Hay un pequeño bug en el almacenaje del nombre y serial y en el guardado de bytes mágicos del serial. Si nos fijamos en los bucles del nombre y el serial, vemos que los bytes mágicos del nombre los guarda a partir de la dirección de memoria 403258 y los bytes mágicos del serial a partir de 40324D. En la siguiente imagen podemos ver seleccionados los 11 primeros bytes donde se almacenan los bytes mágicos del serial. Vemos que hay seleccionados 11 bytes y que el siguiente sería ya 403258, precisamente donde están los bytes mágicos del nombre. Como puedes imaginar si escribes un serial >11 dígitos se solapan bytes y es una chapuza, de modo que el keygen lo he limitado a nombres de 11 dígitos.
Se nos proporciona la imagen anterior y se nos invita a resolver la ecuación para el menor entero positivo que representa cada fruta. La solución del reto es concatenar «Flag-» a la suma de los valores de las tres frutas.
Análisis inicial
El enunciado es breve pero ya nos adelanta que existen varias soluciones y que además sólo quieren los números más pequeños que podamos encontrar.
Las frutas están muy bien y son muy sanas pero a nosotros se nos hace más sencillo plantear la ecuación con letras.
Para arrojar algo de luz veamos la representación gráfica en 2D y 3D con la ayuda de Desmos.
Las gráficas más que luz nos traen oscuridad de modo que preguntemos a ChatGPT.
ChatGPT
resuelve: (x/y+z)+(y/x+z)+(z/x+y)=4 para enteros positivos
Dado que las variables x, y, z son enteros positivos, podemos intentar encontrar una solución para la ecuación bajo estas condiciones. Sin embargo, encontrar una solución exacta puede ser complejo debido a la naturaleza no lineal de la ecuación. Aun así, podemos intentar algunos enfoques:
Prueba y error: Podemos probar diferentes combinaciones de valores enteros positivos para x, y, z y ver si satisfacen la ecuación.
Análisis de casos específicos: Podemos comenzar analizando casos más simples, como cuando dos de las variables son iguales, y luego ampliar nuestra búsqueda desde allí.
Análisis gráfico o numérico: Utilizando herramientas gráficas o numéricas, podríamos identificar posibles soluciones y luego verificar si son enteros positivos.
Voy a realizar un análisis numérico con un rango limitado de valores para ver si encontramos alguna solución que cumpla con las condiciones. Vamos a probar con valores de 1 a 10 para cada variable.
El análisis numérico para valores de en el rango de 1 a 10 no ha encontrado ninguna solución que satisfaga la ecuación. Esto sugiere que, dentro de este rango, no existen combinaciones de enteros positivos que cumplan con la ecuación.
Dado que la ecuación es bastante compleja y no lineal, es posible que las soluciones, si existen, se encuentren fuera del rango considerado o que requieran un enfoque diferente para ser identificadas. Si tienes un rango específico de valores en mente o si hay alguna otra restricción o contexto relevante, por favor házmelo saber para poder ajustar el análisis en consecuencia.
Básicamente nos está invitando a utilizar prueba y error para encontrar una solución, y el prueba y error de las matemáticas no es más que la fuerza bruta en programación.
El código
Partiendo del problema anterior dame un código en python que realice una comprobación recursiva de todas las variables con un rango de 1 a 999.
soluciones = []
rango_valores_x = range(1, 999)
rango_valores_y = range(1, 999)
rango_valores_z = range(1, 999)
for x in rango_valores_x:
for y in rango_valores_y:
for z in rango_valores_z:
# Calculamos el valor de la expresión para cada combinación de x, y, z
valor = x / (y + z) + y / (x + z) + z / (x + y)
# Comprobamos si el valor es igual a 4 y agregamos la solución a la lista
if abs(valor - 4) < 1e-6: # Usamos una pequeña tolerancia para evitar errores de precisión
soluciones.append((x, y, z))
print(soluciones)
Dejo resaltada la línea 12 del código ya que en ella reside el problema. Está comprobando con un margen de tolerancia de 10-6 ya que el resultado de las diferentes fracciones no da como resultado exacto 4. Esto es un problema ya que nosotros necesitamos que de exactamente 4 para validar los valores enteros de x, y y z. Pongo un ejemplo para el que se haya perdido con una solución válida para la tolerancia 10-6 siendo x=2, y=264 y z=993.
En otras palabras, ChatGPT nos ha brindado una solución aproximada que no sirve para nuestro propósito. Seguimos probando con el código anterior quitando la tolerancia y con rangos mayores hasta que en 106 paro. Me acaba de quedar claro que con la fuerza bruta no vamos a ninguna parte, o más bien, no tenemos capacidad de computación para resolverlo de ésta manera.
¿Qué está pasando?
Lo que pasa es que estamos ante una ecuación algebraica de 3 incógnitas que deben ser enteros positivos cuya solución se alcanza mediante la teoría de curvas elípticas.
Curvas elípticas
Las curvas elípticas son fundamentales en matemáticas avanzadas, representadas por la ecuación y2=x3+Ax+B, donde A y B son constantes. Estas curvas son un punto de encuentro entre la geometría, la teoría de números y el álgebra, ofreciendo un campo rico para la exploración y el análisis. En este CTF, nos enfocaremos en los puntos racionales de las curvas elípticas. Utilizando el método tangente-secante, un procedimiento geométrico iterativo, buscaremos ampliar un conjunto finito de soluciones conocidas a la ecuación de la curva. Este método nos permite indagar en la estructura de las soluciones racionales, que potencialmente pueden ser infinitas. Además, estableceremos una conexión entre las soluciones enteras de las ecuaciones diofánticas y los puntos racionales en las curvas elípticas partiendo de la ecuación (1) especificada en el análisis inicial. A pesar de su aparente simplicidad, esta ecuación es conocida por presentar soluciones mínimas de gran tamaño.
Adecuación
Antes de nada, necesitamos saber el grado de la ecuación, de modo que planteamos la ecuación en forma polinómica estándar deshaciéndonos de los denominadores.
Ahora necesitamos expandir y simplificar para llegar a la conclusión de que estamos ante una ecuación diofántica de grado 3. Este proceso es engorroso por la cantidad de términos a manejar así que vamos a utilizar Mathematica como software de respaldo para finalmente obtener el polinomio en la forma de Weierstrass según la ecuación 4.
\begin{align}
& y^2=x^3+109x^2+224x\\
\end{align}
donde:
\begin{align}
x = \frac{−28(a+b+2c)}{(6a+6b−c)}\\
y = \frac{364(a−b)}{(6a+6b−c)}
\end{align}
Las relación entre la ecuación 3 y los puntos de la curva elíptica se establecen mediante la ecuación 4. Las transformaciones entre las soluciones (a, b, c) y los puntos (x, y) en la curva elíptica vienen dados por las ecuaciones 5 y 6. Con estas transformaciones, cada solución de la ecuación diofántica se puede representar como un punto en la curva elíptica, y las operaciones de suma de puntos en la curva elíptica pueden usarse para encontrar nuevas soluciones de la ecuación diofántica.
Mathematica
El código que tenéis a continuación pertenece al gran trabajo de Aditi Kulkarni [7], que además nos da el resultado para cualquier valor de n. Ojo porque para n=4 el resultado tiene 81 dígitos, para n=6 tiene 134, para n=10 tiene 190 y para n=12 asciende a 2707 dígitos.
(* Asignar un valor numérico a n *)
n = 4;
(* Definir la ecuación de una curva elíptica en términos de n *)
curve4 = y^2 == x^3 + (4*n^2 + 12*n - 3)*x^2 + 32*(n + 3)*x;
(* Encontrar un punto racional en la curva que no sea (4,0) *)
P4 = {x, y} /. First[FindInstance[curve4 && x != 4 && y != 0, {x, y}, Integers]];
(* Función para calcular la pendiente entre dos puntos en la curva,
o la derivada en el punto si son iguales *)
Slope4[{x1_, y1_}, {x2_, y2_}] :=
If[x1 == x2 && y1 == y2,
ImplicitD[curve4, y, x] /. {x -> x1, y -> y1},
(y2 - y1)/(x2 - x1)];
(* Función para calcular la intersección en y de la línea entre dos puntos
o la tangente en el punto si son iguales *)
Intercept4[{x1_, y1_}, {x2_, y2_}] := y1 - Slope4[{x1, y1}, {x2, y2}]*x1;
(* Función para encontrar el siguiente punto racional en la curva *)
nextRational4[{x1_, y1_}, {x2_, y2_}] :=
{Slope4[{x1, y1}, {x2, y2}]^2 - CoefficientList[curve4[[2]], x][[3]] - x1 - x2,
-Slope4[{x1, y1}, {x2, y2}]^3 + Slope4[{x1, y1}, {x2, y2}]*(CoefficientList[curve4[[2]], x][[3]] + x1 + x2) - Intercept4[{x1, y1}, {x2, y2}]};
(* Función para convertir un punto en la curva elíptica a una solución diofántica *)
ellipticToDiophantine[n_, {x_, y_}] :=
{(8*(n + 3) - x + y)/(2*(4 - x)*(n + 3)),
(8*(n + 3) - x - y)/(2*(4 - x)*(n + 3)),
(-4*(n + 3) - (n + 2)*x)/((4 - x)*(n + 3))};
(* Usar nextRational4 para iterar desde P4 hasta encontrar una solución
válida y positiva para la ecuación diofántica *)
sol4 = ellipticToDiophantine[n,
NestWhile[nextRational4[#, P4] &, P4,
! AllTrue[ellipticToDiophantine[n, #], Function[item, item > 0]] &]];
(* Escalar la solución para obtener enteros mínimos *)
MinSol4 = sol4*(LCM @@ Denominator[sol4])
(* Suma de las tres variables*)
Total[MinSol4]
Solución
Concatenando Flag- con el resultado de Mathematica tenemos la ansiada flag.
ChatGPT ha demostrado ser eficaz en el análisis y la resolución de problemas, siempre que se le proporcione el contexto adecuado. Sin embargo, es importante ser conscientes de que la respuesta proporcionada puede ser aproximada, especialmente si la solución requiere una gran cantidad de recursos computacionales. Por ejemplo, al trabajar con una ecuación diofántica y valores específicos para (x) e (y), ChatGPT puede ayudar a calcular puntos como (P), (2P), (3P), etc., pero hay que tener en cuenta que los resultados para estos puntos pueden ser estimaciones.
Finalmente, os invito a leer la solución de Mingliang Z. [4], en la que se resuelve el problema por completo y de forma muy detallada.
