Introducción
Hoy tenemos aquí un crackme de los que te hacen temblar las conexiones neuronales. Estamos acostumbrados al típico serial asociado a un nombre y a veces nos sorprenden.
El crackme data del año 2000, está realizado por aLoNg3x y lo tenéis colgado en crackmes.de. En crackmes.de también disponéis de una solución muy elegante realizada por cronos, pero que no acaba de saciar nuestro afán de descubrir todas las soluciones posibles.
El algoritmo
Abrimos el crackme con Olly y enseguida encontramos la rutina de comprobación junto con los mensajes de éxito y error. Os dejo la rutina comentada como siempre.
004012D7 |. 83C4 08 ADD ESP,8 ;
004012DA |. 09C0 OR EAX,EAX ;
004012DC |. /74 16 JE SHORT Zebrone.004012F4 ; Salta a Bad boy
004012DE |. |6A 00 PUSH 0 ; /Style = MB_OK|MB_APPLMODAL
004012E0 |. |68 26324000 PUSH Zebrone.00403226 ; |Title = "Great !!!"
004012E5 |. |68 30324000 PUSH Zebrone.00403230 ; |Text = "Congratulations, you have cracked the Zebra Crackme ver 1.1"
004012EA |. |FF75 08 PUSH [ARG.1] ; |hOwner = 0011067C ('Zebra - aLoNg3x - 1.1 Version',class='#32770')
004012ED |. |E8 C6010000 CALL <JMP.&USER32.MessageBoxA> ; \MessageBoxA
004012F2 |. |EB 14 JMP SHORT Zebrone.00401308
004012F4 |> \6A 00 PUSH 0 ; /Style = MB_OK|MB_APPLMODAL
004012F6 |. 68 F8314000 PUSH Zebrone.004031F8 ; |Title = "Hmmmm :P"
004012FB |. 68 01324000 PUSH Zebrone.00403201 ; |Text = "Sorry... The Serial isn't correct :Þ"
00401300 |. FF75 08 PUSH [ARG.1] ; |hOwner = 0011067C ('Zebra - aLoNg3x - 1.1 Version',class='#32770')
00401303 |. E8 B0010000 CALL <JMP.&USER32.MessageBoxA> ; \MessageBoxA
00401308 |> 31C0 XOR EAX,EAX
0040130A |. 40 INC EAX
0040130B |. EB 39 JMP SHORT Zebrone.00401346
0040130D |> 6A 00 PUSH 0 ; /Result = 0
0040130F |. FF75 08 PUSH [ARG.1] ; |hWnd = 0011067C ('Zebra - aLoNg3x - 1.1 Version',class='#32770')
00401312 |. E8 89010000 CALL <JMP.&USER32.EndDialog> ; \EndDialog
00401317 |. 31C0 XOR EAX,EAX
00401319 |. 40 INC EAX
0040131A |. EB 2A JMP SHORT Zebrone.00401346
0040131C |> 6A 00 PUSH 0 ; /Style = MB_OK|MB_APPLMODAL
0040131E |. 68 40304000 PUSH Zebrone.00403040 ; |Title = "Zebra ver. 1.1"
00401323 |. 68 4F304000 PUSH Zebrone.0040304F ; |Text = "This is the 1.1 Zebra Crackme, Thanks to Quequero and Koma, to have said me a bug of the previous version. (It was due to an orrible cpu appoximation). As usually you cannot patch this .EXE, you've to find one of the many correct solut"...
00401328 |. FF75 08 PUSH [ARG.1] ; |hOwner = 0011067C ('Zebra - aLoNg3x - 1.1 Version',class='#32770')
0040132B |. E8 88010000 CALL <JMP.&USER32.MessageBoxA> ; \MessageBoxA
00401330 |. 31C0 XOR EAX,EAX
00401332 |. 40 INC EAX
00401333 |. EB 11 JMP SHORT Zebrone.00401346
00401335 |> 6A 00 PUSH 0 ; /Result = 0
00401337 |. FF75 08 PUSH [ARG.1] ; |hWnd = 0011067C ('Zebra - aLoNg3x - 1.1 Version',class='#32770')
0040133A |. E8 61010000 CALL <JMP.&USER32.EndDialog> ; \EndDialog
0040133F |. 31C0 XOR EAX,EAX
00401341 |. 40 INC EAX
00401342 |. EB 02 JMP SHORT Zebrone.00401346
00401344 |> 31C0 XOR EAX,EAX
00401346 |> C9 LEAVE
00401347 \. C2 1000 RETN 10
================================================================
0040134A /$ 55 PUSH EBP
0040134B |. 89E5 MOV EBP,ESP
0040134D |. 83EC 68 SUB ESP,68
00401350 |. FF75 08 PUSH [ARG.1] ; /x1
00401353 |. E8 78010000 CALL <JMP.&CRTDLL.atof> ; \atof
00401358 |. DD55 E8 FST QWORD PTR SS:[EBP-18]
0040135B |. 83EC 08 SUB ESP,8
0040135E |. DD1C24 FSTP QWORD PTR SS:[ESP]
00401361 |. E8 82010000 CALL <JMP.&CRTDLL.floor>
00401366 |. DD5D F8 FSTP QWORD PTR SS:[EBP-8]
00401369 |. FF75 0C PUSH [ARG.2] ; /x2
0040136C |. E8 5F010000 CALL <JMP.&CRTDLL.atof> ; \atof
00401371 |. DD55 D8 FST QWORD PTR SS:[EBP-28]
00401374 |. 83EC 08 SUB ESP,8
00401377 |. DD1C24 FSTP QWORD PTR SS:[ESP]
0040137A |. E8 69010000 CALL <JMP.&CRTDLL.floor>
0040137F |. 83C4 18 ADD ESP,18
00401382 |. DD55 F0 FST QWORD PTR SS:[EBP-10]
00401385 |. DC4D F8 FMUL QWORD PTR SS:[EBP-8]
00401388 |. D9EE FLDZ
0040138A |. DED9 FCOMPP ; floor(x1)*floor(x2)=0 ???
0040138C |. DFE0 FSTSW AX ; <<Store status word
0040138E |. 9E SAHF ; <<Store AH into FLAGS
0040138F |. 75 07 JNZ SHORT Zebrone.00401398 ; Si salta todo OK
00401391 |. 31C0 XOR EAX,EAX
00401393 |. E9 96000000 JMP Zebrone.0040142E ; Bad boy
00401398 |> DD45 F8 FLD QWORD PTR SS:[EBP-8] ; <<Floating point load
0040139B |. DC5D F0 FCOMP QWORD PTR SS:[EBP-10] ; x1 = x2 ???
0040139E |. DFE0 FSTSW AX ; <<Store status word
004013A0 |. 9E SAHF ; <<Store AH into FLAGS
004013A1 |. 75 07 JNZ SHORT Zebrone.004013AA ; Si salta todo OK
004013A3 |. 31C0 XOR EAX,EAX
004013A5 |. E9 84000000 JMP Zebrone.0040142E ; Bad boy
004013AA |> DD45 F8 FLD QWORD PTR SS:[EBP-8] ; <<Floating point load
004013AD |. DD5D C8 FSTP QWORD PTR SS:[EBP-38]
004013B0 |. D9E8 FLD1 ; Carga 1 en el stack
004013B2 |. DD55 C0 FST QWORD PTR SS:[EBP-40] ; <<Floating point store
004013B5 |. DC5D C8 FCOMP QWORD PTR SS:[EBP-38] ; x1 > 1 ???
004013B8 |. DFE0 FSTSW AX ; <<Store status word
004013BA |. 9E SAHF ; <<Store AH into FLAGS
004013BB |. 77 2D JA SHORT Zebrone.004013EA ; Si salta bad boy
004013BD |. DF2D 38304000 FILD QWORD PTR DS:[403038] ; <<Load integer>> 2540BE400 = 10^10
004013C3 |. DD55 B8 FST QWORD PTR SS:[EBP-48] ; <<Floating point store
004013C6 |. DC5D C8 FCOMP QWORD PTR SS:[EBP-38] ; x1 < 10^10 ???
004013C9 |. DFE0 FSTSW AX ; <<Store status word
004013CB |. 9E SAHF ; <<Store AH into FLAGS
004013CC |. 72 1C JB SHORT Zebrone.004013EA ; Si salta bad boy
004013CE |. DD45 F0 FLD QWORD PTR SS:[EBP-10] ; <<Floating point load
004013D1 |. DD5D B0 FSTP QWORD PTR SS:[EBP-50] ; <<Store and pop
004013D4 |. DD45 C0 FLD QWORD PTR SS:[EBP-40] ; <<Floating point load
004013D7 |. DC5D B0 FCOMP QWORD PTR SS:[EBP-50] ; x2 > 1 ???
004013DA |. DFE0 FSTSW AX ; <<Store status word
004013DC |. 9E SAHF ; <<Store AH into FLAGS
004013DD |. 77 0B JA SHORT Zebrone.004013EA ; Si salta bad boy
004013DF |. DD45 B8 FLD QWORD PTR SS:[EBP-48] ; <<Floating point load>> carga 10^10
004013E2 |. DC5D B0 FCOMP QWORD PTR SS:[EBP-50] ; x2 < 10^10 ???
004013E5 |. DFE0 FSTSW AX ; <<Store status word
004013E7 |. 9E SAHF ; <<Store AH into FLAGS
004013E8 |. 73 04 JNB SHORT Zebrone.004013EE ; Salta si menor
004013EA |> 31C0 XOR EAX,EAX
004013EC |. EB 40 JMP SHORT Zebrone.0040142E ; Bad boy
004013EE |> DD45 F8 FLD QWORD PTR SS:[EBP-8] ; <<Floating point load>> carga x1
004013F1 |. D9FE FSIN ; Sin(x1)
004013F3 |. DD5D A8 FSTP QWORD PTR SS:[EBP-58] ; <<Store and pop
004013F6 |. DD45 F0 FLD QWORD PTR SS:[EBP-10] ; <<Floating point load>> carga x2
004013F9 |. D9FE FSIN ; Sin(x2)
004013FB |. DD5D A0 FSTP QWORD PTR SS:[EBP-60] ; <<Store and pop
004013FE |. DD45 A8 FLD QWORD PTR SS:[EBP-58] ; <<Floating point load
00401401 |. DC4D A0 FMUL QWORD PTR SS:[EBP-60] ; Sin(x1) * Sin(x2)
00401404 |. DF2D 30304000 FILD QWORD PTR DS:[403030] ; <<Load integer>> 2386F26FC10000 = 10^16
0040140A |. DEC9 FMULP ST(1),ST ; 10^16 * (Sin(x1) * Sin(x2))
0040140C |. 83EC 08 SUB ESP,8
0040140F |. DD1C24 FSTP QWORD PTR SS:[ESP] ; <<Store and pop
00401412 |. E8 D1000000 CALL <JMP.&CRTDLL.floor>
00401417 |. 83C4 08 ADD ESP,8
0040141A |. DD5D 98 FSTP QWORD PTR SS:[EBP-68]
0040141D |. D9EE FLDZ ; <<Load 0.0 onto stack
0040141F |. DC5D 98 FCOMP QWORD PTR SS:[EBP-68] ; 10^16 * (Sin(x1) * Sin(x2)) = 0 ???
00401422 |. DFE0 FSTSW AX
00401424 |. 9E SAHF ; <<Store AH into FLAGS
00401425 |. 75 05 JNZ SHORT Zebrone.0040142C ; Si NO salta todo OK
00401427 |. 31C0 XOR EAX,EAX
00401429 |. 40 INC EAX
0040142A |. EB 02 JMP SHORT Zebrone.0040142E
0040142C |> 31C0 XOR EAX,EAX
0040142E |> C9 LEAVE
0040142F \. C3 RETN
La primera dificultad que podemos encontrar es que utiliza instrucciones FPU y coma flotante, ya que si no tenemos la vista entrenada nos puede resultar un engorro. Superado esto, la rutina de comprobación se puede resumir así:
- x1 * x2 != 0
- x1 != x2
- x1 > 1 y < 10^10
- x2 > 1 y < 10^10
- Floor[10^16 * sin(x1) * sin(x2)] = 0
A priori no parece que tenga mucha dificultad, pero vamos a analizarlo más concienzudamente. Necesitamos que la parte entera del resultado de la multiplicación sea 0, algo que parece sencillo, pero fíjate que la constante 10^16 nos obliga a su vez, a que el resultado del seno sea muy pequeño, cosa que como comprobaréis limita mucho los resultados satisfactorios.
Repasando trigonometría
Cuando nos enseñó nuestro profesor la función del seno nos hizo el siguiente dibujo:
Partiendo de la circunferencia unitaria, podemos concluir que el seno de alpha es igual a la altura x. Como lo que nos interesa a nosotros es que el seno sea muy pequeño, en realidad estamos buscando que la x sea lo más pequeña posible. Llegamos entonces a la conclusión de que las soluciones para enteros entre 1 y 10^10 van a ser muy reducidas. Además nos percatamos que el ángulo alpha va a tener que estar muy proximo a 0º – 360 (0 – 2π) y a 180º (π). En el siguiente gráfico queda claro el estrecho margen en el que nos movemos.
Si habéis leído la solución de cronos ahora le encontraréis algo más de sentido a por que él utilizó fracciones continuas de π y cogió como resultado los numeradores más cercanos a 10^10, en su caso 245850922 y 411557987.
Análisis operacional
Vamos a analizar un ejemplo operacional.
sin( x rad) sin(245850922) = 6,1180653830011163142712109862972e-9 sin(411557987) = 2,536716051963676479648989773448e-9 sin(245850922)*sin(411557987) = 1,5519794664022230015882605365808e-17 10^16 * 1,5519794664022230015882605365808e-17 = 0,15519794664022230015882605365808 Floor(0,15519794664022230015882605365808) = 0
Como veis, el exponente negativo (^-17) debe ser mayor que el positivo (^16) para tener éxito.
Fuerza bruta
Lo que vamos a hacer a continuación es buscar todos los senos con exponente negativo ^-8 ó ^-9 de enteros entre 1 y 10^10, y vamos a cruzar los resultados para determinar todos los resultados válidos.
Preparamos el programa y le dejamos trabajar. En principio vamos a filtrar todos los resultados que tengan exponente negativo y luego ya aislaremos los que nos interesan. Esto lo hago por curiosidad.
La fuerza bruta nos arroja 63663 resultados con exponente negativo entre ^-5 y ^-9, de los cuales solamente nos quedamos con 65, que son los comprendidos a exponentes de entre ^-8 y ^-9. Los números mágicos son los siguientes:
Los rojos son exponentes ^-9, el resto ^-8.
La mayoría de estos números solo valen con ciertas combinaciones, de hecho, ninguno vale para todos. Esto se debe, a parte del propio exponente, a que hay senos positivos y negativos y para hacer válido a un seno negativo hay que combinarlo con otro negativo. Esto último se debe únicamente a la interpretación que hace el crackme.
Finalmente cruzamos los resultados y obtenemos 44 combinaciones de seriales válidos que si obviamos repeticiones se reducen a la mitad.
Combinaciones válidas:
Conclusiones
Podemos concluir que para cada 10^10 enteros hay 22 soluciones posibles. Finalmente comentar que si aLoNg3x no hubiera puesto el límite en 10^10, habría soluciones infinitas.
Links
- Crackme
- Archivos del proyecto (programas, logs…)
- Solución de cronos
- Instrucciones FPU
- Fracción continua o cual es la mejor aproximación (Gaussianos)
- Circunferencia unitaria (Video)
- Función Seno
- Función Floor
