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Intro

Hoy tenemos un crackme realizado en Visual C++ 6. Es el típico serial asociado a un nombre.

El algoritmo

Localizamos con Olly la rutina de comprobación del serial y empezamos a analizar. Vemos una serie de Calls que lo único que hacen es comprobar el tamaño de nuestro nombre y serial y si es <5 dígitos nos tira afuera.

saltos_iniciales

Una vez pasada la traba anterior procede con un bucle para el nombre y otro para el serial. Yo he metido deurus y 123456. El bucle del nombre hace xor al los dígitos ascii con un valor incremental a partir de 1. Reconvierte el valor resultante en su caracter correspondiente y lo almacena.

00401576     |.  B9 01000000   MOV ECX,1                         ; ECX = 1
0040157B     |.  33D2          XOR EDX,EDX
0040157D     |.  8B45 E4       MOV EAX,[LOCAL.7]                 ; EAX = Nombre
00401580     |>  8A18          /MOV BL,BYTE PTR DS:[EAX]         ; BL = digito que toque  <--
00401582     |.  32D9          |XOR BL,CL                        ; digito XOR ECX
00401584     |.  8818          |MOV BYTE PTR DS:[EAX],BL         ; sustituye el digito nombre por el resultante del xor
00401586     |.  41            |INC ECX                          ; ECX++
00401587     |.  40            |INC EAX                          ; Siguiente digito
00401588     |.  8038 00       |CMP BYTE PTR DS:[EAX],0
0040158B     |.^ 75 F3         \JNZ SHORT crackme3.00401580      ; Bucle -->

 Ejemplo:

d  e  u  r  u  s
64 65 75 72 75 73

(d)64 xor 1 = 65(e)
(e)65 xor 2 = 67(g)
(u)75 xor 3 = 76(v)
(r)72 xor 4 = 76(v)
(u)75 xor 5 = 70(p)
(s)73 xor 6 = 75(u)

Nombre:    deurus
Resultado: egvvpu

Hace lo mismo con el serial pero con el valor incremental a partir de 0xA (10).

00401593     |.  B9 0A000000    MOV ECX,0A                      ; ECX = A
00401598     |.  33D2           XOR EDX,EDX
0040159A     |.  8B45 F0        MOV EAX,[LOCAL.4]               ; EAX = Serial
0040159D     |>  8A18           /MOV BL,BYTE PTR DS:[EAX]       ; BL = digito que toque  <--
0040159F     |.  32D9           |XOR BL,CL                      ; BL XOR CL
004015A1     |.  8818           |MOV BYTE PTR DS:[EAX],BL       ; sustituye el digito serial por el resultante del xor
004015A3     |.  41             |INC ECX                        ; ECX++
004015A4     |.  40             |INC EAX                        ; Siguiente digito
004015A5     |.  8038 00        |CMP BYTE PTR DS:[EAX],0
004015A8     |.^ 75 F3          \JNZ SHORT crackme3.0040159D    ; Bucle -->

Ejemplo:

1  2  3  4  5  6
31 32 33 34 35 35

(1)31 xor A = 3B(;)
(2)32 xor B = 39(9)
(3)33 xor C = 3F(?)
(4)34 xor D = 39(9)
(5)35 xor E = 3B(;)
(6)36 xor F = 39(9)

Serial:    123456
Resultado: ;9?9;9

A continuación compara «egvvpu» con «;9?9;9» byte a byte.

KeyGen

El KeyGen quedaría así

for(int i = 0; i <= strlen(Nombre); i = i + 1)
                {
                        Serial[i] = (Nombre[i]^(i+1))^(0xA + i);
                }

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Computer Password Security Hacker

En el primer vistazo con el editor hexadecimal ya vemos la solución al reto:

Pho

Al igual que el caso anterior con el editor hexadecimal tenemos más que suficiente para resolver el reto.

Minions

En el análisis inicial no destaca prácticamente nada excepto la palabra myadmin que podemos ver con un editor hexadecimal.

La palabra myadmin es una buena candidata a ser contraseña ante una decodificación. Probamos con lo estándar y conseguimos resultados con steghide. La decodificación nos devuelve la cadena AEMAVABGAGwAZQBhAHIAbgB7AHQAaABpAHMAXwBpAHMAXwBmAHU***** que rápidamente catalogamos como base64 para resolver el reto.

Unopenable

Se nos entrega una imagen GIF aparentemente corrupta. Estudiando un poco la cabecera de los archivos GIF llegamos rápidamente a la conclusión de que faltan los cuatro primeros bytes del archivo.

Bytes originales
Offset(h) 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 0A 0B 0C 0D 0E 0F

00000000  39 61 F4 01 F4 01 F4 00 00 00 00 00 3A 00 00 00  9aô.ô.ô.....:...
00000010  00 3A 3A 00 3A 66 00 00 66 00 3A 00 00 66 90 3A  .::.:f..f.:..f.:
00000020  00 90 3A 3A B6 66 00 B6 66 3A 90 90 3A DB 90 3A  ..::¶f.¶f:..:Û.:
00000030  FF B6 66 00 3A 90 66 3A 90 00 66 90 00 66 B6 3A  ÿ¶f.:.f:..f..f¶:

Después de insertar los bytes que faltan
Offset(h) 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 0A 0B 0C 0D 0E 0F

00000000  47 49 46 38 39 61 F4 01 F4 01 F4 00 00 00 00 00  GIF89aô.ô.ô.....
00000010  3A 00 00 00 00 3A 3A 00 3A 66 00 00 66 00 3A 00  :....::.:f..f.:.
00000020  00 66 90 3A 00 90 3A 3A B6 66 00 B6 66 3A 90 90  .f.:..::¶f.¶f:..
00000030  3A DB 90 3A FF B6 66 00 3A 90 66 3A 90 00 66 90  :Û.:ÿ¶f.:.f:..f.

Una vez insertados los bytes podemos ver una animación que contiene una cadena de texto fácilmente reconocible como base64. La decodificamos y ya tenemos la solución.

Oreo

Mirando con un editor hexadecimal no encontramos nada excepto la frase This is not the flag you are looking for para intentar disuadirnos.

Cargamos la imagen en Aperi’Solve y enseguida nos llama la atención la sección Binwalk y un suculento Rar.

Descargamos el archivo Rar y al descomprimir nos encontramos con un archivo de texto con la misma frase desalentadora del inicio y una imagen JPG, esta vez con dos oreos. Inspeccionando la imagen damos con la solución.

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Introducción

Hoy tenemos aquí un bonito crackme matemático realizado por Spider. El crackme está realizado en ensamblador y precisamente por eso, vamos a tener que lidiar con ciertas peculiaridades al realizar el keygen con un lenguaje de bajo nivel.

Al inicio comprueba la longitud del nombre y de el número de serie. El nombre debe tener al menos 6 caracteres y el número de serie debe tener 10. Os adelanto ya que la asignación de memoria del nombre es de 9 caracteres, es decir, da igual la longitud del nombre que solo va a usar 9.

004014AD | E8 1A 02 00 00           | call <pythagoras.GetWindowTextA>        | ;Lee el nombre
004014B2 | 83 F8 06                 | cmp eax,6                               | ;Nombre >=6 caracteres
004014B5 | 0F 82 03 01 00 00        | jb pythagoras.4015BE                    |
004014BB | 6A 14                    | push 14                                 |
004014BD | 68 D9 31 40 00           | push pythagoras.4031D9                  | ;004031D9:"1234567890"
004014C2 | FF 35 10 32 40 00        | push dword ptr ds:[403210]              |
004014C8 | E8 FF 01 00 00           | call <pythagoras.GetWindowTextA>        | ;Lee el serial
004014CD | 83 F8 0A                 | cmp eax,A                               | ;Serial debe tener 10 (A) caracteres
004014D0 | 0F 85 E8 00 00 00        | jne pythagoras.4015BE                   |

Sabiendo esto introducimos Nombre: deurus y Serial: 1234567890

A continuación chequea que nuestro serial tenga caracteres hexadecimales.

004014DA | 8A 81 D9 31 40 00        | mov al,byte ptr ds:[ecx+4031D9]         | ; ecx+004031D9:"1234567890"
004014E0 | 3C 00                    | cmp al,0                                | ; contador del bucle
004014E2 | 74 1F                    | je pythagoras.401503                    | ; fin del bucle
004014E4 | 3C 30                    | cmp al,30                               | ; 0x30 = número 1
004014E6 | 0F 82 D2 00 00 00        | jb pythagoras.4015BE                    | ; < 30 bad boy
004014EC | 3C 46                    | cmp al,46                               | ; 0x46 = letra F
004014EE | 0F 87 CA 00 00 00        | ja pythagoras.4015BE                    | ; > 46 bad boy
004014F4 | 3C 39                    | cmp al,39                               | ; 0x39 = número 9
004014F6 | 76 08                    | jbe pythagoras.401500                   | ; <=39 ok continua el bucle
004014F8 | 3C 41                    | cmp al,41                               | ; 0x41 = letra A
004014FA | 0F 82 BE 00 00 00        | jb pythagoras.4015BE                    | ; <41 bad boy
00401500 | 41                       | inc ecx                                 | ; contador += 1
00401501 | EB D7                    | jmp pythagoras.4014DA                   | ; bucle

Continua realizando un sumatorio con nuestro nombre, pero tenemos que tener especial cuidado al tratamiento de los datos, ya que el crackme al estar hecho en ensamblador puede jugar con los registros como quiere y eso nos puede inducir a error.

0040150B | 3C 00                    | cmp al,0                                | ; ¿Fin bucle?
0040150D | 74 05                    | je pythagoras.401514                    | ; Salta fuera del bucle si procede
0040150F | 02 D8                    | add bl,al                               | ; bl = bl + al
00401511 | 41                       | inc ecx                                 | ; contador +=1
00401512 | EB F1                    | jmp pythagoras.401505                   | ; bucle

Si os fijáis utiliza registros de 8 bits como son AL y BL. Debajo os dejo una explicación de EAX pero para EBX es lo mismo.

               EAX
-----------------------------------
                         AX
                  -----------------
                     AH       AL
                  -------- --------
00000000 00000000 00000000 00000000
 (8bit)   (8bit)   (8bit)   (8bit)
 

  EAX     (32 bit)
--------
     AX   (16 bit)
    ----
    AHAL  (AH y AL 8 bit)
--------
00000000

El uso de registros de 8 bits nos implica tomar precauciones al realizar el Keygen debido a que por ejemplo, en .Net no tenemos la capacidad de decirle que haga una suma y que nos devuelva solamente 8 bits del resultado. Veamos como ejemplo para el nombre «deurus». La suma de los caracteres hexadecimales quedaría:

64+65+75+72+75+73 = 298, es decir, EAX = 00000298

Pero recordad que el crackme solo cogerá el 98 que es lo correspondiente al registro AL. De momento nos quedamos con nuestro SUMNOMBRE = 98.

Primera condición

A continuación coge los dos primeros caracteres del serial y les resta nuestro SUMNOMBRE y comprueba que el resultado esté entre 4 (0x4) y -4 (0xFC).

0040154B | 0F B6 05 F3 31 40 00     | movzx eax,byte ptr ds:[4031F3]          |
00401552 | 8A C8                    | mov cl,al                               |
00401554 | 2A CB                    | sub cl,bl                               | ; CL = CL - BL | CL = 12 - 98 = 7A
00401556 | 80 F9 04                 | cmp cl,4                                | ; Compara CL con 4
00401559 | 7F 63                    | jg pythagoras.4015BE                    | ; Salta si es mayor
0040155B | 80 F9 FC                 | cmp cl,FC                               | ; Compara CL con FC (-4)
0040155E | 7C 5E                    | jl pythagoras.4015BE                    | ; Salta si es menor

Como veis, el resultado de la resta da 7A (122) que al ser mayor que 4 nos echa vilmente. Aquí de nuevo utiliza registros de 8 bits por lo que debemos tener cuidado con las operaciones matemáticas para no cometer errores, veamos un ejemplo para clarificar de aquí en adelante.

Utilizando 8 bits
-----------------
12 - 98 = 7A que en decimal es 122

Utilizando 16 bits
------------------
0012 - 0098 = FF7A que en decimal es -134

Ahora ya veis la diferencia entre FC (252) y FFFC (-4). Estrictamente, el crackme comprueba el rango entre 4 (4) y FC (122) al trabajar con registros de 8 bits pero nosotros, como veremos más adelante tomaremos el rango entre 4 y -4. De momento, para poder continuar depurando cambiamos los dos primeros caracteres del serial de 12 a 98, ya que 98 – 98 = 0 y cumple la condición anterior.

Introducimos Nombre: deurus y Serial: 9834567890

Segunda condición

Analicemos el siguiente código.

00401560 | F7 E0                    | mul eax                                 | ; EAX = EAX * EAX
00401562 | 8B D8                    | mov ebx,eax                             | ; EBX = EAX
00401564 | 0F B7 05 F4 31 40 00     | movzx eax,word ptr ds:[4031F4]          | ; EAX = 3456 (4 dígitos siguientes del serial)
0040156B | F7 E0                    | mul eax                                 | ; EAX = EAX * EAX
0040156D | 03 D8                    | add ebx,eax                             | ; EBX = EBX + EAX
0040156F | 0F B7 05 F6 31 40 00     | movzx eax,word ptr ds:[4031F6]          | ; EAX = 7890 (4 últimos dígitos del serial)
00401576 | F7 E0                    | mul eax                                 | ; EAX = EAX * EAX
00401578 | 33 C3                    | xor eax,ebx                             | ; EAX
0040157A | 75 42                    | jne pythagoras.4015BE                   | ; Salta si el flag ZF no se activa

En resumen:

  • 98 * 98 = 5A40 (98²)
  • 3456 * 3456 = 0AB30CE4 (3456²)
  • 0AB36724 + 5A40 = 0AB36724
  • 7890 * 7890 = 38C75100 (7890²)
  • 38C75100 XOR 0AB36724 = 32743624
  • Si el resultado del XOR no es cero nuestro serial no pasa la comprobación.

Es decir, Pitágoras entra en escena -> 7890² = 98² + 3456²

Serial = aabbbbcccc

Tercera condición

Finalmente comprueba lo siguiente:

0040157C | 66 A1 F6 31 40 00        | mov ax,word ptr ds:[4031F6]             | ; AX = 7890
00401582 | 66 2B 05 F4 31 40 00     | sub ax,word ptr ds:[4031F4]             | ; AX = 7890 - 3456 = 443A
00401589 | 2C 08                    | sub al,8                                | ; AL = 3A - 8 = 32
0040158B | 75 31                    | jne pythagoras.4015BE                   | ; Si el resultado de la resta no ha sido cero, serial no válido
0040158D | 6A 30                    | push 30                                 |
0040158F | 68 B0 31 40 00           | push pythagoras.4031B0                  | ;004031B0:":-) Well done!!!"
00401594 | 68 7F 31 40 00           | push pythagoras.40317F                  | ;0040317F:"Bravo, hai trovato il seriale di questo CrackMe!"
00401599 | FF 75 08                 | push dword ptr ds:[ebp+8]               |

En resumen:

  • 7890 – 3456 – 8 = 0

Creación del Keygen

Nuestro serial tiene que cumplir tres condiciones para ser válido.

  • a – SUMNOMBRE debe estar entre 4 y -4
  • c² = a² + b²
  • c – b – 8 = 0

Como hemos dicho anteriormente, tomaremos el SUMNOMBRE y le sumaremos y restaremos valores siempre y cuando el resultado esté entre 4 y -4. Para deurus hemos dicho que el SUMNOMBRE es 98 por lo que los posibles valores de «a» se pueden ver debajo. Además debemos tener en cuenta que el crackme solo lee los 9 primeros dígitos del nombre.

98-4 = 94		
98-3 = 95		
98-2 = 96		
98-1 = 97		
98-0 = 98		
98+1 = 99		
98+2 = 9A		
98+3 = 9B		
98+4 = 9C

Es evidente que para encontrar el valor de «c» vamos a tener que utilizar fuerza bruta chequeando todos los valores  de «b» comprendidos entre 0 y FFFF (65535). Además, como trabajaremos en un lenguaje de alto nivel, debemos descartar los resultados decimales. Esto nos limitará los seriales válidos asociados a un determinado nombre. Si realizáramos el keygen en ensamblador obtendríamos bastantes más seriales válidos.

Una vez encontrados los valores enteros de la operación «c² = a² + b²», se debe cumplir que «c – b – 8 = 0», lo que nos limitará bastante los resultados.

    Private Sub btn_generar_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles btn_generar.Click
        Try
            If txt_nombre.TextLength > 5 Then
                lst_serials.Items.Clear()
                Dim tmp, c, cx As String
                Dim sumanombre, tmp2 As Integer
                If txt_nombre.TextLength > 9 Then tmp2 = 8 Else tmp2 = txt_nombre.TextLength - 1
                'Calculo el SUMNOMBRE
                For i = 0 To tmp2
                    sumanombre += Asc(Mid(txt_nombre.Text, i + 1, 1)) 'Acumulo suma
                    tmp = Strings.Right(Hex(sumanombre).ToString, 2)  'Solo 8 bits (Registro AL)
                    sumanombre = Val("&H" & tmp) 'Paso a decimal
                Next
                tmp = Strings.Right(Hex(sumanombre).ToString, 2)
                sumanombre = CInt("&H" & tmp)
                txtdebug.Text = "- SumNombre = " & Hex(sumanombre) & vbCrLf
                txtdebug.Text &= "----------------------------------------------" & vbCrLf
                Dim a(8) As Integer
                '
                'a - sumanombre >=4 y <=4
                '
                a(0) = sumanombre - 4
                a(1) = sumanombre - 3
                a(2) = sumanombre - 2
                a(3) = sumanombre - 1
                a(4) = sumanombre
                a(5) = sumanombre + 1
                a(6) = sumanombre + 2
                a(7) = sumanombre + 3
                a(8) = sumanombre + 4
                txtdebug.Text &= "- Posibles valores de 'a'" & vbCrLf
                For i = 0 To a.Length - 1
                    txtdebug.Text &= Hex(a(i)) & " "
                Next
                txtdebug.Text &= "----------------------------------------------" & vbCrLf
                txtdebug.Text &= "- Buscando valores de b y c" & vbCrLf
                txtdebug.Text &= "Serial = aabbbbcccc" & vbCrLf
                '
                'c = sqr(a^2 + b^2)
                '
                txtdebug.Text &= "(1) c = raiz(a^2 + b^2)" & vbCrLf
                txtdebug.Text &= "(2) c - b - 8 = 0" & vbCrLf
                For i = 0 To a.Length - 1 ' todas las posibilidades de a
                    For b = 0 To 65535 'b -> 0000 - FFFF
                        c = Math.Sqrt(a(i) ^ 2 + b ^ 2)
                        If c.Contains(".") Then 'busco enteros
                        Else
                            cx = c - b - 8
                            cx = Hex(cx).PadLeft(4, "0"c)
                            lbl_info.Text = cx
                            If cx = "0000" Then
                                txtdebug.Text &= " (1) " & Hex(c).PadLeft(4, "0"c) & " = raiz(" & Hex(a(i)).PadLeft(2, "0"c) & "^2 + " & Hex(b).PadLeft(4, "0"c) & "^2)" & vbCrLf
                                lst_serials.Items.Add(Hex(a(i)).PadLeft(2, "0"c) & Hex(b).PadLeft(4, "0"c) & Hex(c).PadLeft(4, "0"c))
                                txtdebug.Text &= " (2) " & Hex(c).PadLeft(4, "0"c) & " - " & Hex(b).PadLeft(4, "0"c) & " - 8 = 0" & vbCrLf
                            End If
                        End If
                        Application.DoEvents()
                    Next
                Next
                lbl_info.Text = "Búsqueda finalizada"
            End If
        Catch ex As Exception
            MsgBox(ex.ToString)
        End Try

Enlaces

por ·Sin comentarios

En una entrada anterior sobre cómo Expediente X abordó la tecnología de vanguardia, comenté que dedicaría un espacio a esos tres personajes tan peculiares y entrañables que, desde el segundo plano, se ganaron un hueco en el corazón de los seguidores de la serie: los Pistoleros Solitarios. Pues bien, ha llegado el momento.

Estos tres tipos —John Fitzgerald Byers, Melvin Frohike y Richard “Ringo” Langly— no necesitaban armas ni placas del FBI. Su poder estaba en los teclados, los cables enredados y los monitores de tubo que parpadeaban en un sótano lleno de conspiraciones y café frío. Eran los outsiders de Expediente X, tres hackers con alma de periodistas que luchaban por algo tan simple y tan enorme como la verdad.

Su primera aparición fue en E.B.E. (temporada 1), casi como un alivio cómico: tres frikis que ayudaban a Mulder a rastrear información sobre ovnis. Pero pronto quedó claro que había algo especial en ellos. No solo eran fuente de datos, sino conciencia crítica en un mundo plagado de mentiras digitales y gobiernos con demasiados secretos. Con el tiempo se convirtieron en aliados imprescindibles de Mulder y Scully, y también en el reflejo más humano de lo que significa ser hacker: curiosos, testarudos, torpes a veces, pero con un sentido moral inquebrantable.

Byers era el idealista, el que aún creía en la decencia y en las instituciones (al menos en teoría). Frohike, el cínico veterano con corazón de oro, siempre dispuesto a arriesgarse por una buena causa… o por impresionar a Scully. Y Langly, el genio rebelde que parecía vivir en permanente conversación con su módem de 56 k. Juntos formaban un trío excéntrico, pero perfectamente equilibrado.

Mientras Mulder y Scully perseguían abducciones y virus extraterrestres, los pistoleros combatían en otra trinchera: la digital. Hackeaban redes gubernamentales, interceptaban comunicaciones cifradas y desmantelaban cortafuegos que, en los noventa, parecían pura ciencia ficción. Lo suyo no era la acción física, sino la resistencia informativa. Y aunque muchas veces eran el chiste del capítulo, también representaban algo muy real: la gente corriente que lucha contra el poder desde el conocimiento.

Su lema no declarado podría haber sido el clásico “la información quiere ser libre”, y en eso se mantuvieron firmes hasta el final. Si había que elegir entre la seguridad o la verdad, ellos siempre elegían la verdad, aunque les costara caro.

TemporadaEpisodioTítuloComentario
117E.B.E.Primera aparición de los pistoleros.
23BloodManipulación de dispositivos y mensajes ocultos. También control mental a través de la tecnología.
225AnasaziUn hacker roba archivos clasificados. Se tratan temas como el cifrado y filtración de datos del gobierno.
315ApocryphaAcceso a bases de datos secretas y descifrado de archivos comprometidos.
323WetwiredManipulación de señales televisivas.
414Memento MoriInfiltración digital en sistemas médicos y vigilancia biotecnológica.
51ReduxRobo y manipulación de pruebas digitales.
53Unusual SuspectsOrígenes de los pistoleros: intrusión, cifrado y espíritu hacker de los noventa.
511Kill SwitchIA autónoma y malware inteligente.
620Three of a KindHacking social, suplantación y síntesis de voz para infiltración corporativa.
713First Person ShooterHackeo de entornos virtuales y brechas de seguridad en sistemas de realidad aumentada.
915Jump the SharkSu sacrificio final: bloqueo de una amenaza biológica, ética hacker y altruismo extremo.
112ThisLangly como conciencia digital en un servidor. Debate sobre IA y trascendencia del código.

Morir por la verdad

El final de los pistoleros fue tan inesperado como heroico. En el episodio “Jump the Shark” de la novena temporada, descubren un complot bioterrorista que amenaza con liberar un virus mortal. No hay tiempo para avisar a nadie, ni margen para escapar. Así que, fieles a su estilo, deciden sacrificarse para salvar a otros. Sellan el laboratorio desde dentro, sabiendo que no volverán a salir.

Lo reconozco, este desenlace mi cogió completamente por sorpresa. No hay épica de Hollywood, ni música grandilocuente. Solo tres hombres anónimos haciendo lo correcto. Mueren juntos, sin reconocimiento, sin medallas, pero con la serenidad de quienes saben que su causa era justa. Y en ese silencio final, Expediente X nos recordó algo que las grandes historias suelen olvidar: que los verdaderos héroes a veces no llevan traje ni pistola, solo convicción.

Años después, Mulder vuelve a verlos —o cree verlos— en The Truth. Ya no están en este mundo, pero siguen a su lado, como fantasmas digitales de la conciencia hacker. Es un homenaje discreto a quienes siempre pelearon desde las sombras por liberar la verdad.

Para cerrar el círculo, Langly reaparece de forma inesperada en la temporada 11, dentro del episodio This. Su mente, o más bien su copia digital, sobrevive atrapada en un servidor, reclamando ser liberada. Es el epílogo perfecto: el hacker que muere físicamente, pero cuya conciencia sigue inmortal. Una vez más me volvió a sorprender Chris Carter con este homenaje.

Me gusta pensar que los pistoleros solitarios representaban algo más que tres hackers secundarios en una serie de los noventa. Fueron el reflejo de una época en la que creíamos que la tecnología podía liberar al ser humano, antes de que las redes sociales y la hiperconectividad lo diluyeran todo. Byers, Frohike y Langly no luchaban por fama ni por dinero: luchaban por entender el sistema para exponerlo, por esa curiosidad genuina que hoy apenas sobrevive entre líneas de código y algoritmos opacos. Quizá por eso seguimos recordándolos y mola tanto volver a ver los capítulos. Porque, de algún modo, todos los que amamos el conocimiento libre llevamos dentro un pequeño pistolero solitario, buscando la verdad entre los bits.

por ·Sin comentarios

El reto

Se nos proporciona la imagen anterior y se nos invita a resolver la ecuación para el menor entero positivo que representa cada fruta. La solución del reto es concatenar «Flag-» a la suma de los valores de las tres frutas.

Análisis inicial

El enunciado es breve pero ya nos adelanta que existen varias soluciones y que además sólo quieren los números más pequeños que podamos encontrar.

Las frutas están muy bien y son muy sanas pero a nosotros se nos hace más sencillo plantear la ecuación con letras.

\begin{align}
&  \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=4\\
\end{align}

Para arrojar algo de luz veamos la representación gráfica en 2D y 3D con la ayuda de Desmos.

2D
3D

Las gráficas más que luz nos traen oscuridad de modo que preguntemos a ChatGPT.

ChatGPT

resuelve: (x/y+z)+(y/x+z)+(z/x+y)=4 para enteros positivos

Dado que las variables x, y, z son enteros positivos, podemos intentar encontrar una solución para la ecuación bajo estas condiciones. Sin embargo, encontrar una solución exacta puede ser complejo debido a la naturaleza no lineal de la ecuación. Aun así, podemos intentar algunos enfoques:

  • Prueba y error: Podemos probar diferentes combinaciones de valores enteros positivos para x, y, z y ver si satisfacen la ecuación.
  • Análisis de casos específicos: Podemos comenzar analizando casos más simples, como cuando dos de las variables son iguales, y luego ampliar nuestra búsqueda desde allí.
  • Análisis gráfico o numérico: Utilizando herramientas gráficas o numéricas, podríamos identificar posibles soluciones y luego verificar si son enteros positivos.

Voy a realizar un análisis numérico con un rango limitado de valores para ver si encontramos alguna solución que cumpla con las condiciones. Vamos a probar con valores de 1 a 10 para cada variable.

El análisis numérico para valores de en el rango de 1 a 10 no ha encontrado ninguna solución que satisfaga la ecuación. Esto sugiere que, dentro de este rango, no existen combinaciones de enteros positivos que cumplan con la ecuación.

Dado que la ecuación es bastante compleja y no lineal, es posible que las soluciones, si existen, se encuentren fuera del rango considerado o que requieran un enfoque diferente para ser identificadas. Si tienes un rango específico de valores en mente o si hay alguna otra restricción o contexto relevante, por favor házmelo saber para poder ajustar el análisis en consecuencia.

Básicamente nos está invitando a utilizar prueba y error para encontrar una solución, y el prueba y error de las matemáticas no es más que la fuerza bruta en programación.

El código

Partiendo del problema anterior dame un código en python que realice una comprobación recursiva de todas las variables con un rango de 1 a 999.

soluciones = []
rango_valores_x = range(1, 999)
rango_valores_y = range(1, 999)
rango_valores_z = range(1, 999)

for x in rango_valores_x:
    for y in rango_valores_y:
        for z in rango_valores_z:
            # Calculamos el valor de la expresión para cada combinación de x, y, z
            valor = x / (y + z) + y / (x + z) + z / (x + y)
            # Comprobamos si el valor es igual a 4 y agregamos la solución a la lista
            if abs(valor - 4) < 1e-6:  # Usamos una pequeña tolerancia para evitar errores de precisión
                soluciones.append((x, y, z))

print(soluciones)

Dejo resaltada la línea 12 del código ya que en ella reside el problema. Está comprobando con un margen de tolerancia de 10-6 ya que el resultado de las diferentes fracciones no da como resultado exacto 4. Esto es un problema ya que nosotros necesitamos que de exactamente 4 para validar los valores enteros de x, y y z. Pongo un ejemplo para el que se haya perdido con una solución válida para la tolerancia 10-6 siendo x=2, y=264 y z=993.

\begin{align}
&  \frac{2}{264+993}+\frac{264}{2+993}+\frac{993}{2+264}=4.000000429\\
\end{align}

En otras palabras, ChatGPT nos ha brindado una solución aproximada que no sirve para nuestro propósito. Seguimos probando con el código anterior quitando la tolerancia y con rangos mayores hasta que en 106 paro. Me acaba de quedar claro que con la fuerza bruta no vamos a ninguna parte, o más bien, no tenemos capacidad de computación para resolverlo de ésta manera.

¿Qué está pasando?

Lo que pasa es que estamos ante una ecuación algebraica de 3 incógnitas que deben ser enteros positivos cuya solución se alcanza mediante la teoría de curvas elípticas.

Curvas elípticas

Las curvas elípticas son fundamentales en matemáticas avanzadas, representadas por la ecuación y2=x3+Ax+B, donde A y B son constantes. Estas curvas son un punto de encuentro entre la geometría, la teoría de números y el álgebra, ofreciendo un campo rico para la exploración y el análisis. En este CTF, nos enfocaremos en los puntos racionales de las curvas elípticas. Utilizando el método tangente-secante, un procedimiento geométrico iterativo, buscaremos ampliar un conjunto finito de soluciones conocidas a la ecuación de la curva. Este método nos permite indagar en la estructura de las soluciones racionales, que potencialmente pueden ser infinitas. Además, estableceremos una conexión entre las soluciones enteras de las ecuaciones diofánticas y los puntos racionales en las curvas elípticas partiendo de la ecuación (1) especificada en el análisis inicial. A pesar de su aparente simplicidad, esta ecuación es conocida por presentar soluciones mínimas de gran tamaño.

Adecuación

Antes de nada, necesitamos saber el grado de la ecuación, de modo que planteamos la ecuación en forma polinómica estándar deshaciéndonos de los denominadores.

\begin{align}
\begin{split}
n(a+b)(b+c)(c+a)=a(a+b)(c+a)+b(b+c)(a+b)+c(c+a)(b+c)
\end{split}
\end{align}

Ahora necesitamos expandir y simplificar para llegar a la conclusión de que estamos ante una ecuación diofántica de grado 3. Este proceso es engorroso por la cantidad de términos a manejar así que vamos a utilizar Mathematica como software de respaldo para finalmente obtener el polinomio en la forma de Weierstrass según la ecuación 4.

\begin{align}
&  y^2=x^3+109x^2+224x\\
\end{align}

donde:

\begin{align}
x = \frac{−28(a+b+2c)}{(6a+6b−c)}\\
y = \frac{364(a−b)}{(6a+6b−c)}
\end{align}

Las relación entre la ecuación 3 y los puntos de la curva elíptica se establecen mediante la ecuación 4. Las transformaciones entre las soluciones (a, b, c) y los puntos (x, y) en la curva elíptica vienen dados por las ecuaciones 5 y 6. Con estas transformaciones, cada solución de la ecuación diofántica se puede representar como un punto en la curva elíptica, y las operaciones de suma de puntos en la curva elíptica pueden usarse para encontrar nuevas soluciones de la ecuación diofántica.

Mathematica

El código que tenéis a continuación pertenece al gran trabajo de Aditi Kulkarni [7], que además nos da el resultado para cualquier valor de n. Ojo porque para n=4 el resultado tiene 81 dígitos, para n=6 tiene 134, para n=10 tiene 190 y para n=12 asciende a 2707 dígitos. 

(* Asignar un valor numérico a n *)
n = 4;
(* Definir la ecuación de una curva elíptica en términos de n *)
curve4 = y^2 == x^3 + (4*n^2 + 12*n - 3)*x^2 + 32*(n + 3)*x;
(* Encontrar un punto racional en la curva que no sea (4,0) *)
P4 = {x, y} /. First[FindInstance[curve4 && x != 4 && y != 0, {x, y}, Integers]];
(* Función para calcular la pendiente entre dos puntos en la curva, 
   o la derivada en el punto si son iguales *)
Slope4[{x1_, y1_}, {x2_, y2_}] := 
  If[x1 == x2 && y1 == y2, 
     ImplicitD[curve4, y, x] /. {x -> x1, y -> y1}, 
     (y2 - y1)/(x2 - x1)];
(* Función para calcular la intersección en y de la línea entre dos puntos 
   o la tangente en el punto si son iguales *)
Intercept4[{x1_, y1_}, {x2_, y2_}] := y1 - Slope4[{x1, y1}, {x2, y2}]*x1; 
(* Función para encontrar el siguiente punto racional en la curva *)
nextRational4[{x1_, y1_}, {x2_, y2_}] := 
  {Slope4[{x1, y1}, {x2, y2}]^2 - CoefficientList[curve4[[2]], x][[3]] - x1 - x2, 
   -Slope4[{x1, y1}, {x2, y2}]^3 + Slope4[{x1, y1}, {x2, y2}]*(CoefficientList[curve4[[2]], x][[3]] + x1 + x2) - Intercept4[{x1, y1}, {x2, y2}]};
(* Función para convertir un punto en la curva elíptica a una solución diofántica *)
ellipticToDiophantine[n_, {x_, y_}] := 
  {(8*(n + 3) - x + y)/(2*(4 - x)*(n + 3)), 
   (8*(n + 3) - x - y)/(2*(4 - x)*(n + 3)), 
   (-4*(n + 3) - (n + 2)*x)/((4 - x)*(n + 3))};
(* Usar nextRational4 para iterar desde P4 hasta encontrar una solución 
   válida y positiva para la ecuación diofántica *)
sol4 = ellipticToDiophantine[n, 
   NestWhile[nextRational4[#, P4] &, P4, 
     ! AllTrue[ellipticToDiophantine[n, #], Function[item, item > 0]] &]];
(* Escalar la solución para obtener enteros mínimos *)
MinSol4 = sol4*(LCM @@ Denominator[sol4])
(* Suma de las tres variables*)
Total[MinSol4]

Solución

Concatenando Flag- con el resultado de Mathematica tenemos la ansiada flag.

Flag-195725546580804863527010379187516702463973843196699016314931210363268850137105614

Conclusiones

ChatGPT ha demostrado ser eficaz en el análisis y la resolución de problemas, siempre que se le proporcione el contexto adecuado. Sin embargo, es importante ser conscientes de que la respuesta proporcionada puede ser aproximada, especialmente si la solución requiere una gran cantidad de recursos computacionales. Por ejemplo, al trabajar con una ecuación diofántica y valores específicos para (x) e (y), ChatGPT puede ayudar a calcular puntos como (P), (2P), (3P), etc., pero hay que tener en cuenta que los resultados para estos puntos pueden ser estimaciones.

Finalmente, os invito a leer la solución de Mingliang Z. [4], en la que se resuelve el problema por completo y de forma muy detallada.

Enlaces