Warning: This challenge is still active and therefore should not be resolved using this information.
Aviso: Este reto sigue en activo y por lo tanto no se debería resolver utilizando esta información.

Intro

This crackme is for the crack challenge 6 of canyouhack.it.

In this crackme the goal is to turn on all the lights. Note that a light off to the next, so if we interrupt this, we win.

Tools

Exeinfo (For crackme info)

Delphi Decompiler (For decompile)

 OllyDbg (For debug)

Decompiling

With Delphi Decompiler we can found easy the buttons and his offsets.
Go to the offset 401A64 in OllyDbg and analyze the code.
We view two jumps, one turn ON the light and the other Turn OFF the next light. Patching the call from offset 401A8B we get the serial.

Links


Introducción Javascript 1 (Serial a la vista) Javascript 2 (La función charAt()) Javascript 3 (Input) Javascript 4 (Fuerza bruta manual) Javascript
Primeras impresiones Analizamos el programa con PEiD y nos muestra que está hecho en ensamblador. Unas pruebas introduciendo datos nos
Warning: This challenge is still active and therefore should not be resolved using this information. Aviso: Este reto sigue en
Intro Hoy tenemos un crackme realizado en Visual C++ 6. Es el típico serial asociado a un nombre. El algoritmo

Introducción

Los retos de Javascript son los retos más sencillos que podemos encontrar. Muchas veces solamente mirando el código fuente obtenemos la respuesta. Suponen una mala implementación de seguridad debido a que el código se ejecuta del lado del cliente, por lo que el código fuente es accesible y por lo tanto, javascript no garantiza seguridad alguna. En estos cinco casos haremos un recorrido por lo más básico, cinco retos fáciles de superar y que nos proporcionan los conocimientos base para Javascript. Dicho esto os puedo asegurar que en ocasiones he encontrado retos javascript realmente complicados que requieren de horas descifrarlos y en los que es fácil tirar la toalla.

Cuando el reto lo requiera, es buena idea utilizar un compilador online para obtener de forma rápida el valor de una variable o realizar una prueba concreta. Yo utilizo Jsfiddle para realizar pruebas pero existen muchos más.

Javascript 1

Este primer reto es lo básico, en el código fuente se pueden apreciar directamente el usuario y la clave.

<script language=JavaScript>
function Verify(name,pass)
{
if (name=="admin" & pass=="3***3")
	{
	location.href = name + pass + '.htm';
	}
else 
	{
	alert("Si ya fallamos el primero...");
	};
}
</script>

Javascript 2

Este segundo reto es bastante sencillo pero ya te obliga a conocer la función charAt() de Javascript. Dicha función lo que hace es coger el caracter indicado mediante un índice que comienza en cero. Por ejemplo si nombre = deurus y hacemos letra = nombre.charAt(3), estariámos extrayendo la cuarta letra, es decir, la letra r de la variable nombre.

function Verify(name,pass)
{
var name1 = "CrawlinG", pass1 = "capriccio"
	if (name==name1 & pass==pass1)
	{
	location.href = name + ".htm";
	}
else 
	{
	var x =  name1.charAt(7) + pass1.charAt(3)+ name1.charAt(2) + pass1.charAt(5) +  name1.charAt(5) + pass1.charAt(1);x = x.toLowerCase();
	var y =  name.charAt(3) + name.charAt(1) + pass.charAt(1)+ pass.charAt(6) +  pass.charAt(7) + name.charAt(2);var x1 = "des" + y;
	if (x==y){location.href = x1 + ".htm"}else{alert("Esto no va bien");location.href = "js2.htm"}
	}
}

Lo interesante está en la formación de las variables x e y. La variable x se forma de las variables name1 y pass1, formando la palabra gracia. Por otro lado, la variable y se forma con el nombre y clave que introduzcamos nosotros. Vemos que la variable x e y deben ser iguales, por lo tanto debemos construir un nombre (name) y una clave (pass) que cumpla con lo siguiente:

  • 4ª letra del nombre = 1ª letra de la palabra «gracia»
  • 2ª letra del nombre = 2ª letra de la palabra «gracia»
  • 2ª letra de la clave = 3ª letra de la palabra «gracia»
  • 7ª letra de la clave = 4ª letra de la palabra «gracia»
  • 8ª letra de la clave = 5ª letra de la palabra «graci
  • 3ª letra del nombre = 6ª letra de la palabra «gracia«

Como véis simplemente se trata de interpretar correctamente la función charAt() y de fijarse bien en los nombres de las variables.

Javascript 3

Este reto nos muestra diálogo donde nos pide la contraseña para validar el reto. Al fallar  o cancelar vuelve al índice para no dejarnos ver el código fuente. Aquí se pueden seguir varios caminos como bloquear el uso de javascript en el navegador o instalar un plugin en chrome o firefox para habilitar/deshabilitar de forma rápida el uso de javascript.

Una vez deshabilitado javascript vemos lo siguiente:

<script language="JavaScript" src="js3.gif" type=text/javascript>
<!--
function verify()
{
var pass="thebest";
var password=prompt("Introduce el password para superar el nivel","");
	if (password==pass)
		{
		location.href = pass + ".htm";
		}
	else
		{
		alert("No vamos bien...");
		location.href = "index.htm";
		}
}
//-->
</script>

Aquí el truco es darse cuenta que el código que se está ejecutando esta en «js3.gif» y no el código que nos muestra como válida la clave thebest. Si descargamos el archivo js3.gif y lo abrimos con un archivo de texto vemos nuestra querida clave.

function verify()
{
var pass="mo****ver";
var password=prompt("Introduce el password para superar el nivel","");
	if (password==pass)
		{
		location.href = pass + ".htm";
		}
	else
		{
		alert("No vamos bien...");
		location.href = "index.htm";
		}
}

Javascript 4

En este reto ya entramos con que la clave no es reversible y la debemos obtener por fuerza bruta. En este reto utiliza una nueva función como charCodeAt() que lo que hace es obtener el valor ascii del caracter indicado.

function Verify(pass1)
{
var cont1= 2, cont2= 6
var suma1 = 0, suma2 = 0
var pass2 = "FDRLF"
for(i = 0; i < pass1.length; i++) 
{
suma1 += (pass1.charCodeAt(i) * cont1);
cont1++
}
for(i = 0; i < pass2.length; i++) 
{
suma2 += (pass2.charCodeAt(i) * cont2);
cont2++
}
if (suma1==suma2)
{
window.location=suma1+".htm";
}
else
{
alert ("Algo no va bien...");
}
}

Vemos dos bucles en los que se calculan sendos valores suma que finalmente se comparan. la variable suma1 se calcula mediante nuestro password y la variable suma2 la obtiene de la palabra «FDRLF». Con el script que os muestro a continuación obtenemos que usando como clave deurus, suma1 = 3048 y suma2 = 2936. Nuestro punto de referencia es suma2 = 2936, de modo que vamos alterando con paciencia la variable pass1 obteniendo valores cercanos a 2936. Por ejemplo «deurua» nos da suma1 = 2922, un valor bastante cercano.

var pass1 = "deurus";
var cont1= 2, cont2= 6
var suma1 = 0, suma2 = 0
var pass2 = "FDRLF"
for(i = 0; i < pass1.length; i++) 
{
suma1 += (pass1.charCodeAt(i) * cont1);
cont1++
}
for(i = 0; i < pass2.length; i++) 
{
suma2 += (pass2.charCodeAt(i) * cont2);
cont2++
}
alert (suma1);
alert (suma2);

La solución a este reto es múltiple. Dos claves válidas son por ejemplo dfurqfzwfabz.

Javascript 5

Este último reto es similar al anterior pero ya nos obliga a crearnos una pequeña herramienta que nos busque el serial válido.

function Verify(pass)
{
var suma=0
var cadena = "abcdefghijklmnopqrstuvwxyz"
for (var i = 0; i < pass.length; i++) 
	{
	var letra = pass.charAt(i)
	var valor = (cadena.indexOf(letra))
	valor++
	suma *= 26
	suma += valor
	}
if (suma==6030912063)
	{
	window.location=pass+".htm";
	}
else
	{
	alert ("Algo no va bien...");
	}
}

Para esta ocasión utiliza una nueva función llamada indexOf() que lo que hace es devolver un número entero que representa la posición en la que se encuentra el parámetro pasado a la función. Por ejemplo, si tengo variable = deurus y realizo posición = variable.indexOf(«s»), obtengo como resultado 5 (se empieza a contar desde cero).

Las operaciones que realiza el bucle son las siguientes:

  • Coge las letras del nombre una a una.
  • valor = posición de nuestra letra dentro de la variable de texto llamada cadena.
  • valor = valor + 1.
  • Multiplica la variable suma por 26.
  • Suma = suma + valor.

Aunque el proceso de recuperación de esta clave es algo más largo, podemos acortarlo introduciendo una clave de inicio de fuerza bruta próxima al objetivo. Al ser una función bastante lineal podemos rápidamente mediante pruebas con nuestro código de fuerza bruta o con un compilador online, establecer que la clave tendrá 7 caracteres e incluso que para ahorrar tiempo podemos aproximar la clave para que su valor suma esté cercano al valor suma buscado 6030912063.

Realizando pruebas obtenemos:

  • Clave = aaaaaaa -> suma = 321272407
  • Clave = zzzzzzz -> suma = 8353082582
  • Clave = smaaaaa -> suma = 6024332887
  • Clave = smkkkkk -> suma = 6029085437

Como vemos, la clave smkkkkk ya está bastante próxima al objetivo y será un buen punto para lanzar la fuerza bruta.

Os dejo el código de fuerza bruta en .Net

Module Module1
    Sub Main()
inicio:
        Console.WriteLine("-------------------------")
        Console.WriteLine("Modo [1] Prueba password")
        Console.WriteLine("Modo [2] Fuerza bruta")
        Console.WriteLine("-------------------------")
        Dim modo = Console.ReadLine()
        '
        If modo = 2 Then
            Console.WriteLine("¿Password para comenzar?")
            Dim pass = Console.ReadLine()
inicio2:
            Dim cadena As String = "abcdefghijklmnopqrstuvwxyz"
            Dim valor As Integer = 0
            Dim suma As Long = 0
            Dim letra As String
            For i = 0 To pass.Length - 1
                letra = Mid(pass, i + 1, 1)
                valor = cadena.IndexOf(letra)
                valor += 1
                suma *= 26
                suma += valor
            Next
            Console.WriteLine("Password: " & pass & " - Sum: " & suma.ToString)
            pass = IncrementString(pass)
            If suma = 6030912063 Then
                MsgBox("Password is " & pass)
            Else
                If pass = "aaaaaaaa" Then
                    Console.WriteLine("pass not found")
                    Console.ReadKey()
                Else
                    GoTo inicio2
                End If
            End If
        End If
        '------------------------------------------------
        If modo = 1 Then
            Console.WriteLine("Password:")
            Dim pass = Console.ReadLine()
            Dim cadena As String = "abcdefghijklmnopqrstuvwxyz"
            Dim valor As Integer = 0
            Dim suma As Long = 0
            Dim letra As String
            For i = 0 To pass.Length - 1
                letra = Mid(pass, i + 1, 1)
                valor = cadena.IndexOf(letra)
                valor += 1
                suma *= 26
                suma += valor
            Next
            Console.WriteLine("Password: " & pass & " - Sum: " & suma.ToString)
            Console.WriteLine(".......")
            Console.WriteLine("Good = 6030912063")
            Console.WriteLine("Suma = " & suma.ToString)
            Console.ReadKey()
            Console.Clear()
            GoTo inicio
        End If
    End Sub
    Function IncrementString(ByVal strString As String) As String
        '
        ' Increments a string counter
        ' e.g.  "a" -> "b"
        '       "az" -> "ba"
        '       "zzz" -> "aaaa"
        '
        ' strString is the string to increment, assumed to be lower-case alphabetic
        ' Return value is the incremented string
        '
        Dim lngLenString As Long
        Dim strChar As String
        Dim lngI As Long

        lngLenString = Len(strString)
        ' Start at far right
        For lngI = lngLenString To 0 Step -1
            ' If we reach the far left then add an A and exit
            If lngI = 0 Then
                strString = "a" & strString
                Exit For
            End If
            ' Consider next character
            strChar = Mid(strString, lngI, 1)
            If strChar = "z" Then
                ' If we find Z then increment this to A
                ' and increment the character after this (in next loop iteration)
                strString = Left$(strString, lngI - 1) & "a" & Mid(strString, lngI + 1, lngLenString)
            Else
                ' Increment this non-Z and exit
                strString = Left$(strString, lngI - 1) & Chr(Asc(strChar) + 1) & Mid(strString, lngI + 1, lngLenString)
                Exit For
            End If
        Next lngI
        IncrementString = strString
        Exit Function

    End Function
End Module

Enlaces

Primeras impresiones

Analizamos el programa con PEiD y nos muestra que está hecho en ensamblador.


Unas pruebas introduciendo datos nos muestran que el nombre debe tener entre 3 y 10 dígitos.


Determinando la rutina de creación del serial con Ollydbg

Llegados a este punto tenemos dos opciones que funcionan en el 90% de los casos. La primera es mediante las referenced strings o mediante los names.
 
Para el primer caso, con el keygenme cargado en olly, click derecho y Search > All referenced text strings. Haciendo doble click en “You got it” o en “Bad boy” vamos directamente a la rutina de comprobación del serial o muy cerca de ella en la mayoría de los casos.


Para el segundo caso, haremos click derecho y Search > Name (label) in current módule, o Ctrl+N. Vemos dos llamadas interesantes como son user32.GetDlgItemInt y user32.GetDlgItemTextA. Lo más seguro es que user32.GetDlgItemInt coja del textbox nuestro serial y user32.GetDlgItemTextA coja nuestro nombre. Para este caso colocaríamos breakpoints en las dos llamadas.


En mi caso elijo la primera opción. Nada más pulsar en “You got it” nos fijamos un poco más arriba y vemos las funciones donde coge el nombre y el serial y a simple vista se ven las operaciones que hace con ellos.

Generando un serial válido

Como se muestra en la imagen siguiente, la creación del serial es muy sencilla y al final la comparación es lineal ya que se compara nuestro serial con el serial válido. Veamos el serial válido para el usuario “abc” cuyos dígitos en hexadecimal son 0x61, 0x62 y 0x63.

Letra a
Letra b
Letra c
Suma + 0x61
Suma * 0x20
Suma xor 0xBEFF
Suma / 4
Suma = 0x2CB7
Suma + 0x62
Suma * 0x20
Suma xor 0xBEFF
Suma / 4
Suma = 0x14777
Suma + 0x63
Suma * 0x20
Suma xor 0xBEFF
Suma / 4
Suma = 0xA116F
Suma xor 0xBEA4 = 0xAAFCB
Serial válido = 700363

Generando un keygen con WinASM studio desde cero

Abrimos WinASM studio y pulsamos en File > New Project y en la pestaña dialog elegimos base.

  

Vemos que se nos generan tres archivos, uno con extensión asm, otro con extensión inc y otro con extensión rc. El archivo asm es el que contendrá nuestro código. El archivo inc no lo vamos a usar para simplificar las cosas y el archivo rc es nuestro formulario al que pondremos a nuestro gusto.
Empecemos con el aspecto del formulario. Por defecto viene como se muestra en la siguiente imagen. Que por cierto, es todo lo que necesitamos para un keygen básico.

Y el aspecto final:

Ahora veamos cómo viene nuestro archivo asm inicialmente y que haremos con él. En la siguiente imagen lo indico.

    Encima de la sección .code hemos creado dos secciones como son .data y .data? y hemos declarado las variables necesarias. 
  • szFormat está declarada en formato integer (%i). Más tarde la utilizaremos junto a la función wsprintf para dar formato a un número.
  • szSizeMin: habla por sí misma.
  • szSizeMax: habla por sí misma.
  •  szCap: habla por sí misma.
  • szName: contendrá el nombre introducido.
  • szCode: contendrá el serial válido.
Nuestro código queda de la siguiente manera:

A partir de aquí ya simplemente es escribir el código necesario para generar el serial válido. Una de las ventajas que tiene el ensamblador para hacer keygens sin muchas complicaciones, es que prácticamente es copiar el código que nos muestra Ollydbg. Si os fijáis a continuación, en el botón llamado “IDC_OK” (no le he cambiado el nombre) he puesto todo el código necesario para generar la simple rutina del serial.
Como veis el bucle del nombre es una copia de lo que nos mostró Ollydbg. Una vez que tenemos en EAX nuestro serial válido, mediante la función wsprintf guardamos en la variable szCode el serial válido con formato integer. Finalmente mediante la función SetDlgItemText, mostramos el serial válido en la caja de texto 1002, que es la del serial.

Enlaces


http://youtu.be/mk_rzitZ4CM Lista de reproducción
Warning: This challenge is still active and therefore should not be resolved using this information. Aviso: Este reto sigue en
El reto Se nos proporciona la imagen anterior y se nos invita a resolver la ecuación para el menor entero
En el BTM anterior nos remontábamos al año 2006 para ver un pequeño gazapo ocurrido en la serie Dexter. En

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Aviso: Este reto sigue en activo y por lo tanto no se debería resolver utilizando esta información.

Introducción

Realistic Challenge 2: You have heard about people being targeted by a new religion called Egitology. Another hacker infiltrated the group and discovered that the list of people they target is stored on the site but he doesn’t know where.

Break into the site, find the file and remove it. Also leave no evidence that you was ever there so they wont realise until its too late!

El enunciado del reto nos dice que tenemos que localizar la lista de objetivos y eliminarla sin dejar evidencias.

Analizando la seguridad de la víctima

Echamos un vistazo y vemos que tienen un Login para usuarios registrados, este será nuestro primer testeo.
Lo primero que se no viene a la cabeza con un formulario de este tipo es Inyección SQL, probamos varios métodos y tenemos suerte.
User: admin
Pass: ‘ or 1=1–‘;
 
 Vemos que hemos entrado como admin y enseguida nos llama la atención «Back up Database«. Pulsamos a ver que pasa.
 Obtenemos el hash de las claves de los usuarios Admin y SuperAdmin. Por suerte son hashes MD5. Obtenemos la clave de SuperAdmin y nos loguemos.

Solo nos queda borrar la lista de objetivos y nuestras huellas. Para ello borramos los siguientes archivos y reto superado.

Lista de objetivos: root/misc/targets
Logs: root/images/logs

Links

El reto

Se nos proporciona la imagen anterior y se nos invita a resolver la ecuación para el menor entero positivo que representa cada fruta. La solución del reto es concatenar «Flag-» a la suma de los valores de las tres frutas.

Análisis inicial

El enunciado es breve pero ya nos adelanta que existen varias soluciones y que además sólo quieren los números más pequeños que podamos encontrar.

Las frutas están muy bien y son muy sanas pero a nosotros se nos hace más sencillo plantear la ecuación con letras.

\begin{align}
&  \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=4\\
\end{align}

Para arrojar algo de luz veamos la representación gráfica en 2D y 3D con la ayuda de Desmos.

3D

Las gráficas más que luz nos traen oscuridad de modo que preguntemos a ChatGPT.

ChatGPT

resuelve: (x/y+z)+(y/x+z)+(z/x+y)=4 para enteros positivos

Dado que las variables x, y, z son enteros positivos, podemos intentar encontrar una solución para la ecuación bajo estas condiciones. Sin embargo, encontrar una solución exacta puede ser complejo debido a la naturaleza no lineal de la ecuación. Aun así, podemos intentar algunos enfoques:

  • Prueba y error: Podemos probar diferentes combinaciones de valores enteros positivos para x, y, z y ver si satisfacen la ecuación.
  • Análisis de casos específicos: Podemos comenzar analizando casos más simples, como cuando dos de las variables son iguales, y luego ampliar nuestra búsqueda desde allí.
  • Análisis gráfico o numérico: Utilizando herramientas gráficas o numéricas, podríamos identificar posibles soluciones y luego verificar si son enteros positivos.

Voy a realizar un análisis numérico con un rango limitado de valores para ver si encontramos alguna solución que cumpla con las condiciones. Vamos a probar con valores de 1 a 10 para cada variable.

El análisis numérico para valores de en el rango de 1 a 10 no ha encontrado ninguna solución que satisfaga la ecuación. Esto sugiere que, dentro de este rango, no existen combinaciones de enteros positivos que cumplan con la ecuación.

Dado que la ecuación es bastante compleja y no lineal, es posible que las soluciones, si existen, se encuentren fuera del rango considerado o que requieran un enfoque diferente para ser identificadas. Si tienes un rango específico de valores en mente o si hay alguna otra restricción o contexto relevante, por favor házmelo saber para poder ajustar el análisis en consecuencia.

Básicamente nos está invitando a utilizar prueba y error para encontrar una solución, y el prueba y error de las matemáticas no es más que la fuerza bruta en programación.

El código

Partiendo del problema anterior dame un código en python que realice una comprobación recursiva de todas las variables con un rango de 1 a 999.

soluciones = []
rango_valores_x = range(1, 999)
rango_valores_y = range(1, 999)
rango_valores_z = range(1, 999)

for x in rango_valores_x:
    for y in rango_valores_y:
        for z in rango_valores_z:
            # Calculamos el valor de la expresión para cada combinación de x, y, z
            valor = x / (y + z) + y / (x + z) + z / (x + y)
            # Comprobamos si el valor es igual a 4 y agregamos la solución a la lista
            if abs(valor - 4) < 1e-6:  # Usamos una pequeña tolerancia para evitar errores de precisión
                soluciones.append((x, y, z))

print(soluciones)

Dejo resaltada la línea 12 del código ya que en ella reside el problema. Está comprobando con un margen de tolerancia de 10-6 ya que el resultado de las diferentes fracciones no da como resultado exacto 4. Esto es un problema ya que nosotros necesitamos que de exactamente 4 para validar los valores enteros de x, y y z. Pongo un ejemplo para el que se haya perdido con una solución válida para la tolerancia 10-6 siendo x=2, y=264 y z=993.

\begin{align}
&  \frac{2}{264+993}+\frac{264}{2+993}+\frac{993}{2+264}=4.000000429\\
\end{align}

En otras palabras, ChatGPT nos ha brindado una solución aproximada que no sirve para nuestro propósito. Seguimos probando con el código anterior quitando la tolerancia y con rangos mayores hasta que en 106 paro. Me acaba de quedar claro que con la fuerza bruta no vamos a ninguna parte, o más bien, no tenemos capacidad de computación para resolverlo de ésta manera.

¿Qué está pasando?

Lo que pasa es que estamos ante una ecuación algebraica de 3 incógnitas que deben ser enteros positivos cuya solución se alcanza mediante la teoría de curvas elípticas.

Curvas elípticas

Las curvas elípticas son fundamentales en matemáticas avanzadas, representadas por la ecuación y2=x3+Ax+B, donde A y B son constantes. Estas curvas son un punto de encuentro entre la geometría, la teoría de números y el álgebra, ofreciendo un campo rico para la exploración y el análisis. En este CTF, nos enfocaremos en los puntos racionales de las curvas elípticas. Utilizando el método tangente-secante, un procedimiento geométrico iterativo, buscaremos ampliar un conjunto finito de soluciones conocidas a la ecuación de la curva. Este método nos permite indagar en la estructura de las soluciones racionales, que potencialmente pueden ser infinitas. Además, estableceremos una conexión entre las soluciones enteras de las ecuaciones diofánticas y los puntos racionales en las curvas elípticas partiendo de la ecuación (1) especificada en el análisis inicial. A pesar de su aparente simplicidad, esta ecuación es conocida por presentar soluciones mínimas de gran tamaño.

Adecuación

Antes de nada, necesitamos saber el grado de la ecuación, de modo que planteamos la ecuación en forma polinómica estándar deshaciéndonos de los denominadores.

\begin{align}
\begin{split}
n(a+b)(b+c)(c+a)=a(a+b)(c+a)+b(b+c)(a+b)+c(c+a)(b+c)
\end{split}
\end{align}

Ahora necesitamos expandir y simplificar para llegar a la conclusión de que estamos ante una ecuación diofántica de grado 3. Este proceso es engorroso por la cantidad de términos a manejar así que vamos a utilizar Mathematica como software de respaldo para finalmente obtener el polinomio en la forma de Weierstrass según la ecuación 4.

\begin{align}
&  y^2=x^3+109x^2+224x\\
\end{align}

donde:

\begin{align}
x = \frac{−28(a+b+2c)}{(6a+6b−c)}\\
y = \frac{364(a−b)}{(6a+6b−c)}
\end{align}

Las relación entre la ecuación 3 y los puntos de la curva elíptica se establecen mediante la ecuación 4. Las transformaciones entre las soluciones (a, b, c) y los puntos (x, y) en la curva elíptica vienen dados por las ecuaciones 5 y 6. Con estas transformaciones, cada solución de la ecuación diofántica se puede representar como un punto en la curva elíptica, y las operaciones de suma de puntos en la curva elíptica pueden usarse para encontrar nuevas soluciones de la ecuación diofántica.

Mathematica

El código que tenéis a continuación pertenece al gran trabajo de Aditi Kulkarni [7], que además nos da el resultado para cualquier valor de n. Ojo porque para n=4 el resultado tiene 81 dígitos, para n=6 tiene 134, para n=10 tiene 190 y para n=12 asciende a 2707 dígitos.

(* Asignar un valor numérico a n *)
n = 4;
(* Definir la ecuación de una curva elíptica en términos de n *)
curve4 = y^2 == x^3 + (4*n^2 + 12*n - 3)*x^2 + 32*(n + 3)*x;
(* Encontrar un punto racional en la curva que no sea (4,0) *)
P4 = {x, y} /. First[FindInstance[curve4 && x != 4 && y != 0, {x, y}, Integers]];
(* Función para calcular la pendiente entre dos puntos en la curva, 
   o la derivada en el punto si son iguales *)
Slope4[{x1_, y1_}, {x2_, y2_}] := 
  If[x1 == x2 && y1 == y2, 
     ImplicitD[curve4, y, x] /. {x -> x1, y -> y1}, 
     (y2 - y1)/(x2 - x1)];
(* Función para calcular la intersección en y de la línea entre dos puntos 
   o la tangente en el punto si son iguales *)
Intercept4[{x1_, y1_}, {x2_, y2_}] := y1 - Slope4[{x1, y1}, {x2, y2}]*x1; 
(* Función para encontrar el siguiente punto racional en la curva *)
nextRational4[{x1_, y1_}, {x2_, y2_}] := 
  {Slope4[{x1, y1}, {x2, y2}]^2 - CoefficientList[curve4[[2]], x][[3]] - x1 - x2, 
   -Slope4[{x1, y1}, {x2, y2}]^3 + Slope4[{x1, y1}, {x2, y2}]*(CoefficientList[curve4[[2]], x][[3]] + x1 + x2) - Intercept4[{x1, y1}, {x2, y2}]};
(* Función para convertir un punto en la curva elíptica a una solución diofántica *)
ellipticToDiophantine[n_, {x_, y_}] := 
  {(8*(n + 3) - x + y)/(2*(4 - x)*(n + 3)), 
   (8*(n + 3) - x - y)/(2*(4 - x)*(n + 3)), 
   (-4*(n + 3) - (n + 2)*x)/((4 - x)*(n + 3))};
(* Usar nextRational4 para iterar desde P4 hasta encontrar una solución 
   válida y positiva para la ecuación diofántica *)
sol4 = ellipticToDiophantine[n, 
   NestWhile[nextRational4[#, P4] &, P4, 
     ! AllTrue[ellipticToDiophantine[n, #], Function[item, item > 0]] &]];
(* Escalar la solución para obtener enteros mínimos *)
MinSol4 = sol4*(LCM @@ Denominator[sol4])
(* Suma de las tres variables*)
Total[MinSol4]

Solución

Concatenando Flag- con el resultado de Mathematica tenemos la ansiada flag.

Flag-195725546580804863527010379187516702463973843196699016314931210363268850137105614

Conclusiones

ChatGPT ha demostrado ser eficaz en el análisis y la resolución de problemas, siempre que se le proporcione el contexto adecuado. Sin embargo, es importante ser conscientes de que la respuesta proporcionada puede ser aproximada, especialmente si la solución requiere una gran cantidad de recursos computacionales. Por ejemplo, al trabajar con una ecuación diofántica y valores específicos para (x) e (y), ChatGPT puede ayudar a calcular puntos como (P), (2P), (3P), etc., pero hay que tener en cuenta que los resultados para estos puntos pueden ser estimaciones.

Finalmente, os invito a leer la solución de Mingliang Z. [4], en la que se resuelve el problema por completo y de forma muy detallada.

Enlaces

En el BTM anterior nos remontábamos al año 2006 para ver un pequeño gazapo ocurrido en la serie Dexter. En esta ocasión vamos a hablar sobre un pequeño detalle de una serie actual, Absentia. No es un gazapo, pero es algo bastante poco creíble hoy día.

Hide me

La escena la protagoniza Emily Byrne (Stana Katic) y en ella se ve a Emily buscar algo sospechoso en un portátil.

Primer detalle

En la primera imagen y antes de que Emily haga clic en Documents, se puede apreciar un acceso directo que reza Browser con un icono de la bola del mundo y una lupa. Muy chulo pero para darle más credibilidad a la escena se podía mostrar un acceso directo de Chrome, Firefox o Internet Explorer que son los navegadores más usados.

Where is my Browser?

Where is my Browser?

Para rematar…

A lo que vamos. Emily decide mirar en la carpeta Documents > Videos y para su sorpresa está vacía. Pero como Emily es una mujer de recursos decide comprobar si hay archivos ocultos y para ello retoca las opciones de carpeta.

¡Tachán!, como por arte de magia aparecen todas las carpetas del supuesto asesino con todo tipo de vídeos incriminatorios. Como he comentado anteriormente, parece poco creíble pensar que algo que te puede llevar a la cárcel de por vida sea protegido de forma tan pobre.

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